在线数据算法分析示例

Question

我正在阅读一本名为“编程面试要素”的书，但遇到了以下问题：

实现一个算法，该算法将一个不同的数组作为输入 元素和大小，并返回给定大小的子集 数组元素。所有子集的可能性应该相等。返回 结果是输入数组本身。

他们提供的解决方案如下：

import random
def random_sampling(k, A):
    for i in range(k):
        # Generate a random index in [i, len(A) - 1].
        r = random.randint(i, len(A) - 1)
        A[i], A[r] = A[r], A[i]


A = [3, 7, 5, 11]
k = 3

print(random_sampling(k, A))

我不明白作者试图直观地做什么。他们的解释如下

另一种方法是枚举所有大小为 k 的子集，然后选择 从这些中随机一个。由于有 (n 到 k) 个大小为 k 的子集， 时间和空间的复杂性是巨大的。高效的关键 构建一个大小正好为 k 的随机子集是首先构建一个 大小 k - 1 然后再添加一个元素，随机选择 其余的部分。当 k = 1 时，这个问题是微不足道的。我们调用 随机数生成器，取返回值 mod n（称为 r）， 并将 A[0] 与 A[r] 交换。条目 A[0] 现在保存结果。

对于 k > 1，我们首先像上面一样随机选择一个元素，然后我们 现在对 n - 1 个元素的子数组 A[1, n -1] 重复相同的过程。 最终，随机子集占据槽 A[0, k - 1] 和 剩余元素在最后 n - k 个槽中。

直观地说，如果所有大小为 k 的子集都是等可能的，那么 构造过程确保大小为 k + 1 的子集也是 同样可能。对此的正式证明使用数学归纳法 - 归纳假设是每个大小 k 的每个排列 A 的子集同样可能在 A[0, k -1] 中。

作为一个具体的例子，让输入是 A = 和大小 是 3. 在第一次迭代中，我们使用随机数生成器 在区间 [0,3] 中选择一个随机整数。让返回的随机 数字是 2。我们用 A[2] 交换 A[0] - 现在数组是 。 现在我们在区间 [1, 3] 中选择一个随机整数。让返回的 随机数为 3。我们将 A[1] 与 A[3] 交换 - 现在是结果数组 是 。现在我们在区间 [2,3] 中选择一个随机整数。 令返回的随机数为 2。当我们将 A[2] 与自身交换时， 结果数组不变。随机子集首先由他组成 三个条目，即 {5, 11, 3}。

抱歉，文字太长了；我的问题是这样的

1. 他们所指的效率的关键是什么？它没有在我的脑海中点击
2. “最终，随机子集占据插槽 A[0, k-1] 而其余元素位于最后 n - k 个插槽中”是什么意思
3. 是否有明确的理由说明“A 的每个大小 k 子集的每个排列都同样可能在 A[0, k - 1] 中”？
4. 您能否更清楚地解释算法背后的理论？
5. 算法的返回值应该是多少？

谢谢

Answer 1

1. 一个直观的解决方案可能是

def random_sampling(k, A):
    subset = []
    selected = set()
    for i in range(k):
        index = random.randint(0, len(A) - 1)
        while index in selected:
            index = random.randint(0, len(A) - 1)
        selected.add(index)
        subset.append([A[index]])
    return subset

但不清楚每个 k 子集具有相等的概率（因为对于相同的 k，您可能在不同范围内使用不同数量的随机数）

所以符合概率条件的解决方案将是

import itertools as it
def random_sampling(k, A):
    index_posibilities = [i for i in it.combinations(A,k)] #very expansive action
    index = random.randint(0, len(index_posibilities) - 1)
    selected = []
    for i in index:
        selected.append(A[i])
    return selected

所以他们给出的解决方案确保您对每组 k 个元素使用相同的随机程序，而没有上面的蛮力

1. 现在列表的顺序是，前k个元素是我们选择的这些，列表的其余部分是剩下的项目

2. 这是归纳假设，我假设长度为 k-1 的每个集合具有相同的概率，并为长度为 k 的集合证明它。

3. 确保每个 k 大小子集的概率相同的有效方法是执行完全相同的步骤来生成它

4. 没有返回值，因为函数中的列表被改变了，main中也改变了，子集是函数被调用后列表的前k个元素