使用 `np.linalg.solve()` 计算 `AB⁻¹`

Question

我需要在 Python / Numpy 中为 A 和 B 两个矩阵计算 AB⁻¹（当然，B 是正方形）。

我知道np.linalg.inv() 可以让我计算B⁻¹，然后我可以将其与A 相乘。 我也知道B⁻¹A 实际上是better 用np.linalg.solve() 计算的。

受此启发，我决定将AB⁻¹ 改写为np.linalg.solve()。 我得到了一个基于identity (AB)ᵀ = BᵀAᵀ 的公式，它使用np.linalg.solve() 和.transpose()：

np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose()

这似乎在做这项工作：

import numpy as np


n, m = 4, 2
np.random.seed(0)
a = np.random.random((n, n))
b = np.random.random((m, n))

print(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)))
# [[ 2.87169378 -0.04207382 -1.10553758 -0.83200471]
#  [-1.08733434  1.00110176  0.79683577  0.67487591]]
print(np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())
# [[ 2.87169378 -0.04207382 -1.10553758 -0.83200471]
#  [-1.08733434  1.00110176  0.79683577  0.67487591]]
print(np.all(np.isclose(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)), np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())))
# True

并且对于足够大的输入也可以更快地出现：

n, m = 400, 200
np.random.seed(0)
a = np.random.random((n, n))
b = np.random.random((m, n))

print(np.all(np.isclose(np.matmul(b, np.linalg.inv(a)), np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose())))
# True

%timeit np.matmul(b, np.linalg.inv(a))
# 100 loops, best of 3: 13.3 ms per loop
%timeit np.linalg.solve(a.transpose(), b.transpose()).transpose()
# 100 loops, best of 3: 7.71 ms per loop

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我的问题是：这个身份总是是否正确或我忽略了一些极端情况？

Answer 1

一般来说，np.linalg.solve(B, A) 等价于B<sup>-1</sup>A。剩下的只是数学。

在所有情况下，(AB)<sup>T</sup> = B<sup>T</sup>A<sup>T</sup>: https://math.stackexchange.com/q/1440305/295281。

在这种情况下不需要，但对于可逆矩阵，(AB)<sup>-1</sup> = B<sup>-1</sup>A<sup>-1</sup>: https://math.stackexchange.com/q/688339/295281。

对于可逆矩阵，(A<sup>-1</sup>)<sup>T</sup> = (A<sup>T</sup>)<sup>-1</sup>:https://math.stackexchange.com/q/340233/295281也是如此。

由此得出(AB<sup>-1</sup>)<sup>T</sup> = (B<sup>-1</sup>)<sup>T</sup>A<sup>T</sup> = (B<sup>T</sup>)<sup>-1</sup>A<sup>T</sup>。只要B 是可逆的，您在任何情况下都应该对您提出的转换没有任何问题。