用于平方 (x^2) 近似的神经网络

Question

我是 TensorFlow 和数据科学的新手。我做了一个简单的模块，应该弄清楚输入和输出数字之间的关系。在这种情况下，x 和 x 平方。 Python中的代码：

import numpy as np
import tensorflow as tf

# TensorFlow only log error messages.
tf.logging.set_verbosity(tf.logging.ERROR)

features = np.array([-10, -9, -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8,
                    9, 10], dtype = float)
labels = np.array([100, 81, 64, 49, 36, 25, 16, 9, 4, 1, 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64,
                    81, 100], dtype = float)

model = tf.keras.Sequential([
    tf.keras.layers.Dense(units = 1, input_shape = [1])
])

model.compile(loss = "mean_squared_error", optimizer = tf.keras.optimizers.Adam(0.0001))
model.fit(features, labels, epochs = 50000, verbose = False)
print(model.predict([4, 11, 20]))

我尝试了不同数量的单元，并添加了更多层，甚至使用了relu 激活函数，但结果总是错误的。 它适用于其他关系，如 x 和 2x。 这里有什么问题？

Answer 1

问题在于x*x 与a*x 完全不同。

请注意通常的“神经网络”的作用：它将y = f(W*x + b) 堆叠几次，从不将x 与自身相乘。因此，您将永远无法完美重建x*x。除非你设置f(x) = x*x 或类似的。

您可以获得的是训练期间呈现的值范围的近似值（可能还有一点点外推）。无论如何，我建议您使用较小范围的值，这样会更容易优化问题。

在哲学上：在机器学习中，我发现思考好/坏而不是正确/错误更有用。尤其是回归，除非你有确切的模型，否则你无法得到“正确”的结果。在这种情况下，没有什么可学的。

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实际上有一些神经网络架构将f(x) 与g(x) 相乘，最值得注意的是LSTMs 和Highway networks。但即使这些也有f(x)、g(s) 中的一个或两个有界（通过逻辑 sigmoid 或 tanh），因此无法完全建模 x*x。

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由于在cmets中表达了一些误解，所以我强调几点：

1. 您可以近似您的数据。
2. 要想在任何意义上做得好，您都需要一个隐藏层。
3. 但是没有更多数据是必要的，不过如果你覆盖了空间，模型会更贴合，请参阅desernaut's answer。

例如，下面是一个模型的结果，该模型具有 10 个单位的单个隐藏层并激活 tanh，由 SGD 训练，学习率为 1e-3，进行 15k 次迭代以最小化数据的 MSE。最好的五场比赛：

这里是重现结果的完整代码。不幸的是，我无法在当前环境中安装 Keras/TF，但我希望 PyTorch 代码可以访问 :-)

#!/usr/bin/env python
import torch
import torch.nn as nn
import matplotlib.pyplot as plt

X = torch.tensor([range(-10,11)]).float().view(-1, 1)
Y = X*X

model = nn.Sequential(
    nn.Linear(1, 10),
    nn.Tanh(),
    nn.Linear(10, 1)
)

optimizer = torch.optim.SGD(model.parameters(), lr=1e-3)
loss_func = nn.MSELoss()
for _ in range(15000):
    optimizer.zero_grad()
    pred = model(X)
    loss = loss_func(pred, Y)
    loss.backward()
    optimizer.step()

x = torch.linspace(-12, 12, steps=200).view(-1, 1)
y = model(x)
f = x*x

plt.plot(x.detach().view(-1).numpy(), y.detach().view(-1).numpy(), 'r.', linestyle='None')
plt.plot(x.detach().view(-1).numpy(), f.detach().view(-1).numpy(), 'b')
plt.show()

Answer 2

你犯了两个非常基本的错误：

• 您的超简单模型（具有单个单元的单层网络）根本不符合神经网络的条件，更不用说“深度学习”模型（因为您的问题已被标记）
• 同样，您的数据集（仅 20 个样本）也非常小

当然，如果神经网络要解决像x*x 这样“简单”的问题，就需要具有一定的复杂性；而它们真正闪耀的地方是在输入大型训练数据集时。

尝试解决此类函数近似的方法不仅仅是列出（少数可能的）输入，然后将其连同所需的输出一起馈送到模型中；请记住，NN 通过示例学习，而不是通过符号推理。而且例子越多越好。在类似情况下，我们通常会生成大量示例，然后将这些示例输入模型进行训练。

话虽如此，这里是一个相当简单的 Keras 3 层神经网络演示，用于逼近函数 x*x，使用在 [-50, 50] 中生成的 10,000 个随机数作为输入：

import numpy as np
import keras
from keras.models import Sequential
from keras.layers import Dense
from keras.optimizers import Adam
from keras import regularizers
import matplotlib.pyplot as plt

model = Sequential()
model.add(Dense(8, activation='relu', kernel_regularizer=regularizers.l2(0.001), input_shape = (1,)))
model.add(Dense(8, activation='relu', kernel_regularizer=regularizers.l2(0.001)))
model.add(Dense(1))

model.compile(optimizer=Adam(),loss='mse')

# generate 10,000 random numbers in [-50, 50], along with their squares
x = np.random.random((10000,1))*100-50
y = x**2

# fit the model, keeping 2,000 samples as validation set
hist = model.fit(x,y,validation_split=0.2,
             epochs= 15000,
             batch_size=256)

# check some predictions:
print(model.predict([4, -4, 11, 20, 8, -5]))
# result:
[[ 16.633354]
 [ 15.031291]
 [121.26833 ]
 [397.78638 ]
 [ 65.70035 ]
 [ 27.040245]]

嗯，没那么糟糕！请记住，NN 是函数逼近器：我们应该期望它们既不完全再现函数关系，也不“知道”4 和 -4 的结果应该是一样的。

让我们在[-50,50] 中生成一些新的随机数据（请记住，出于所有实际目的，这些都是模型的unseen数据）并将它们与原始数据一起绘制，以获得更多大图：

plt.figure(figsize=(14,5))
plt.subplot(1,2,1)
p = np.random.random((1000,1))*100-50 # new random data in [-50, 50]
plt.plot(p,model.predict(p), '.')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('prediction')
plt.title('Predictions on NEW data in [-50,50]')

plt.subplot(1,2,2)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.plot(x,y,'.')
plt.title('Original data')

结果：

嗯，可以说它确实看起来确实是一个很好的近似值......

您还可以查看this thread 以获得正弦近似值。

最后要记住的是，虽然我们确实得到了一个不错的近似值，即使使用我们相对简单的模型，我们应该不期望的是外推，即在[-50, 50]之外表现良好；详情请看我在Is deep learning bad at fitting simple non linear functions outside training scope?的回答