编辑 3：
最终（我认为）版本，更简洁、更快速地结合了来自 max9111's answer 的想法。
import numpy as np
from numba import as nb
@nb.njit()
def func1_jit(a, b, c, d):
# Precompute
exp_min = 5 - (a + b + c + d)
exp_max = b
exp = 2. ** np.arange(exp_min, exp_max + 1)
fact_e = np.empty((a + b - 2))
fact_e[0] = 1
for ei in range(1, len(fact_e)):
fact_e[ei] = ei * fact_e[ei - 1]
# Loops
B = 0
for ai in range(0, a):
for bi in range(0, b):
for ci in range(0, c):
for di in range(0, d):
for ei in range(0, ai + bi):
for fi in range(0, ci + di):
B += exp[ei - fi - ai - ci - di + 1 - exp_min] * (ei * ei - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * fact_e[ei]
return B
这已经比以前的任何选项都快了，但我们仍然没有利用多个 CPU。一种方法是在函数本身内，例如并行化外循环。这会在每次调用创建线程时增加一些开销，因此对于较小的输入实际上会慢一些，但对于较大的值应该会明显更快：
import numpy as np
from numba import as nb
@nb.njit(parallel=True)
def func1_par(a, b, c, d):
# Precompute
exp_min = 5 - (a + b + c + d)
exp_max = b
exp = 2. ** np.arange(exp_min, exp_max + 1)
fact_e = np.empty((a + b - 2))
fact_e[0] = 1
for ei in range(1, len(fact_e)):
fact_e[ei] = ei * fact_e[ei - 1]
# Loops
B = np.empty((a,))
for ai in nb.prange(0, a):
Bi = 0
for bi in range(0, b):
for ci in range(0, c):
for di in range(0, d):
for ei in range(0, ai + bi):
for fi in range(0, ci + di):
Bi += exp[ei - fi - ai - ci - di + 1 - exp_min] * (ei * ei - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * fact_e[ei]
B[ai] = Bi
return np.sum(B)
或者，如果您有很多点要评估函数，您也可以在该级别进行并行化。这里a_arr、b_arr、c_arr 和d_arr 是要评估函数的值的向量：
from numba import as nb
@nb.njit(parallel=True)
def func1_arr(a_arr, b_arr, c_arr, d_arr):
B_arr = np.empty((len(a_arr),))
for i in nb.prange(len(B_arr)):
B_arr[i] = func1_jit(a_arr[i], b_arr[i], c_arr[i], d_arr[i])
return B_arr
最佳配置取决于您的输入、使用模式、硬件等，因此您可以结合不同的想法来适应您的情况。
编辑 2：
其实，忘记我之前说的话吧。最好的办法是对算法进行 JIT 编译，但以更有效的方式。首先计算昂贵的部分（我取了指数和阶乘），然后将其传递给编译后的循环函数：
import numpy as np
from numba import njit
def func1(a, b, c, d):
exp_min = 5 - (a + b + c + d)
exp_max = b
exp = 2. ** np.arange(exp_min, exp_max + 1)
ee = np.arange(a + b - 2)
fact_e = scipy.special.factorial(ee)
return func1_inner(a, b, c, d, exp_min, exp, fact_e)
@njit()
def func1_inner(a, b, c, d, exp_min, exp, fact_e):
B = 0
for ai in range(0, a):
for bi in range(0, b):
for ci in range(0, c):
for di in range(0, d):
for ei in range(0, ai + bi):
for fi in range(0, ci + di):
B += exp[ei - fi - ai - ci - di + 1 - exp_min] * (ei * ei - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * fact_e[ei]
return B
在我的实验中，这是迄今为止最快的选项，并且占用的额外内存很少（仅预先计算的值，大小与输入呈线性关系）。
a, b, c, d = 4, 6, 3, 4
# The original function
%timeit func1_orig(a, b, c, d)
# 2.07 ms ± 33.7 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
# The grid-evaluated function
%timeit func1_grid(a, b, c, d)
# 256 µs ± 25 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 10000 loops each)
# The precompuation + JIT-compiled function
%timeit func1_jit(a, b, c, d)
# 19.6 µs ± 3.25 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100000 loops each)
嗯，总是可以选择对整个事物进行网格评估：
import numpy as np
import scipy.special
def func1(a, b, c, d):
ai, bi, ci, di, ei, fi = np.ogrid[:a, :b, :c, :d, :a + b - 2, :c + d - 2]
# Compute
B = (2.) ** (ei - fi - ai - ci - di + 1) * (ei ** 2 - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * scipy.special.factorial(ei)
# Mask out of range elements for last two inner loops
m = (ei < ai + bi) & (fi < ci + di)
return np.sum(B * m)
print(func1(4, 6, 3, 4))
# 21769947.844726562
我使用了scipy.special.factorial，因为显然np.factorial 出于某种原因不适用于数组。
显然，随着参数的增加，其内存消耗会非常快速增长。代码实际上执行了比必要更多的计算，因为两个内部循环具有不同数量的迭代，因此（在此方法中）您必须使用最大的，然后删除不需要的。希望矢量化能够弥补这一点。一个小的 IPython 基准测试：
a, b, c, d = 4, 6, 3, 4
# func1_orig is the original loop-based version
%timeit func1_orig(a, b, c, d)
# 2.9 ms ± 110 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 100 loops each)
# func1 here is the vectorized version
%timeit func1(a, b, c, d)
# 210 µs ± 6.34 µs per loop (mean ± std. dev. of 7 runs, 1000 loops each)
编辑：
请注意，以前的方法也不是全有或全无的事情。您可以选择仅对某些循环进行网格评估。例如，最里面的两个循环可以像这样被矢量化：
def func1(a, b, c, d):
B = 0
e = np.arange(a + b - 2).reshape((-1, 1))
f = np.arange(c + d - 2)
for ai in range(0, a):
for bi in range(0, b):
ei = e[:ai + bi]
for ci in range(0, c):
for di in range(0, d):
fi = f[:ci + di]
B += np.sum((2.) ** (ei - fi - ai - ci - di + 1) * (ei ** 2 - 2 * (ei * fi) - 7 * di) * scipy.special.factorial(ei))
return B
这仍然有循环，但它确实避免了额外的计算，并且内存要求要低得多。哪个最好取决于我猜的输入的大小。在我的测试中，使用原始值 (4, 6, 3, 4) 这比原始函数还要慢；此外，对于这种情况，似乎在每个循环上为 ei 和 fi 创建新数组比在预先创建的切片上操作更快。但是，如果将输入乘以 4 (14, 24, 12, 16)，那么这比原来的速度快得多（大约 x5），尽管仍然比完全矢量化的速度（大约 x3）慢。另一方面，我可以用这个（大约 5 分钟）计算输入缩放十（40、60、30、40）的值，但由于内存而不是前一个（我没有测试如何使用原始功能需要很长时间）。使用@numba.jit 有一点帮助，虽然不是很大（由于阶乘函数，不能使用nopython）。您可以根据输入的大小尝试对更多或更少的循环进行矢量化。