为什么这两个平方根算法的运行方式如此不同，尽管它们应该完全一样？答案

【问题标题】：Why do these two square root algorithms run so differently though they should work exactly the same?为什么这两个平方根算法的运行方式如此不同，尽管它们应该完全一样？
【发布时间】：2019-11-02 02:10:51
【问题描述】：

我正在编写 Python 代码，学习计算机科学，因此我决定先尝试解决其中一个正在解释的问题，然后再查看解决方案代码。

但是，我编写的解决方案代码虽然运行良好，但需要 50813497 次迭代（接近 5100 万次）来计算 49 的平方根，而解决方案中给出的代码只需要 54 次迭代即可实现一样。

这是我的代码：

def ssqrt(x):
    origx = x
    epsilon = 0.000001
    num_guess = 0
    while abs((x/2)**2 - origx) >= epsilon:
        #print(x)
        num_guess+=1
        if (x/2)**2 >= origx:
            x = x/2
        elif (x/2)**2 <= origx:
            x = (3/2)*x

    if abs((x/2)**2 - origx) < epsilon:
        print(num_guess)    
        return x/2
y = ssqrt(49)
print(y)

这是解决方案代码：

x = 49
low = 0
high = x
ans = (low+high)/2
epsilon = 0.00000000000001
num = 0
while abs(ans**2-x) >= epsilon:
    num += 1
    if ans**2 < x:
        low = ans
    else:
        high = ans
    ans = (high+low)/2
print (num)
print (ans)

现在，我知道我的是一个函数，并且解决方案中给出的代码不是一个函数，但总体思路是我们正在尝试实现一个二分搜索算法。这就是我想要达到的。

请帮忙。

（仅供参考，这是在 edX 课程中教授的，Introduction to Computer Science and Programming Using Python）

【问题讨论】：

你的准确率，epsilon，比解高几个数量级。你试过让它们相等吗？
@Jkind9 较小的 epsilon 会变得更糟，因为它会尝试更大的精度。所以，实际上，即使更大的 epsilon 值也会导致 5100 万次迭代，那么想象一下如果我将 epsilon 设置为与解决方案代码中的值一样小会发生什么。它很可能是数十亿次迭代，我没有时间等待它
我把这两者混为一谈了。这可能是因为您的条件导致 0.5*x 或 1.5* 而解决方案中的条件在迭代过程中变得更加准确，高与低。
@Jkind9 是啊...一定是这样...我重试后会回来。谢谢！
@Jkind9 你能解释一下这个答案吗？你的方法有效，所以它会被接受为答案

标签： python python-3.x algorithm search spyder

【解决方案1】：

进一步解释@Jkind9 所说的，给定的解决方案使用二进制搜索，每次迭代将搜索空间减半，从而以对数运行时执行。如果一次二元迭代的搜索空间为[low, high]，则下一次迭代的搜索空间将是[low, (low + high) / 2] 或[(low + high) / 2, high]，有效地将未来迭代中需要观察的元素数量减半。再加上每次迭代只检查一个元素（中间元素）这一事实，因此二分搜索的运行时间为O(log2 n)，其中n 是要搜索的元素数。

但是，您的算法不会每次都将搜索空间减半；您只需平均搜索完全相同的范围。以类似二分搜索的方式重新解释您的算法（具有下限和上限），每次迭代的搜索空间可以视为[0, x]（让n 是要在此范围内检查的数字的数量），其中x / 2 是每次迭代检查的元素。下一次迭代将具有[0, x/2]（n/2 数字）或[0, 3x/2]（3n/2 数字）的搜索空间。因此，下一次迭代的搜索空间平均为 (n/2 + 3n/2)/2 = n 个数字，从而使您的算法平均具有线性时间复杂度（实际迭代次数可能或多或少取决于输入和算法在分支）。

这也可以通过使用输入找到迭代次数来验证；当您的算法的任务是找到 49 的平方根和 0.000001 的 epsilon 时，它必须大致查看 49 / 0.000001 = 49,000,000 个数字才能找到正确的数字。如果算法的平均时间复杂度为O(n)，则可以合理地估计平均需要大约 49,000,000 次迭代才能找到这个平方根。实际进行的迭代次数为 50,813,497，与我们的估计相差不远（相对误差：3.7%）。类似地，对于给定的 epsilon，二分搜索算法必须查看大约 4.9e15 个数字。鉴于二分查找的时间复杂度为O(log2 n)，所采用的迭代次数应为ceil(log2(4.9e15)) = 53，这再次非常接近实际采用的迭代次数（54）。

【讨论】：

【解决方案2】：

所以这个方法叫做迭代方法。下一个最佳估计是由最后一个估计以及它是更高还是更低的组合决定。为简单起见，最快的方法是查看两个值之间的中间点，并将其用作下一个值之一，例如如果你想找到 7 并且从 5 和 10 开始：

step 1: 5 and 5+10/2=7.5
step 2: 5 and 5+7.5/2=6.25
step 3: 6.25 and 7.5+6.5/2.... etc

您正在做的是使用 1/2 或 3/2 的固定值。该解决方案具有一个自适应值，可找到您最后的最佳猜测和新的最佳猜测之间的中间点。

【讨论】：