Arrow 和 Monad，两个独立的观点来组成计算？

Question

我在Monad.Reader#13 中阅读了 Brent Yorgey 的“The Typeclassopedia”，发现“Functor hierachy”与“Category hierachy”相互依赖，如图 1 所示。

@ 987654324@

而且按照作者ArrowApply == Monad的说法，特别是前面那个只是一个类型类实例，可以当

“我们希望能够从中间结果计算出一个箭头，并使用这个计算出的箭头继续计算。这是 ArrowApply 赋予我们的权力。”

但是我们怎样才能把这些东西放在一起呢？我的意思是在 Monad 和 Arrow 中都有一些流控制功能（例如 if 和 else 与 ArrowChoice，或 forM 与 ArrowLoop），并且某些功能在 Monad 中似乎“缺失” （(***)、(|||) 或 first）。所有这些似乎我们需要在使用 Monad 或 Arrow 系统来构建我们的副作用计算流程之间做出选择，并且会在另一个系统中丢失一些功能。

Answer 1

答案就在下面（全部来自Control.Arrow docs）

newtype ArrowApply a => ArrowMonad a b = ArrowMonad (a () b)
instance Monad ArrowApply a => Monad (ArrowMonad a)

ArrowMonad newtype 是我们为ArrowApply 箭头定义Monad 实例的载体。我们本来可以使用

instance Monad ArrowApply a => Monad (a ())

但这会导致 Haskell 的有限类型类推断出现问题（我理解它可以与 UndecideableInstances 扩展一起使用）。

您可以将ArrowApply 箭头的Monad 实例视为将单元操作转换为等效的箭头操作，如源代码所示：

instance ArrowApply a => Monad (ArrowMonad a) where
        return x = ArrowMonad (arr (\_ -> x))
        ArrowMonad m >>= f = ArrowMonad (m >>>
                        arr (\x -> let ArrowMonad h = f x in (h, ())) >>>
                        app)

所以知道我们知道ArrowApply 与Monad 一样强大，因为我们可以在其中实现所有Monad 操作。令人惊讶的是，反过来也是如此。这是由@hammar 指出的Kleisli newtype 给出的。观察：

newtype Kleisli m a b = Kleisli { runKleisli :: a -> m b }

instance Monad m => Category (Kleisli m) where
        id = Kleisli return
        (Kleisli f) . (Kleisli g) = Kleisli (\b -> g b >>= f)

instance Monad m => Arrow (Kleisli m) where
        arr f = Kleisli (return . f)
        first (Kleisli f) = Kleisli (\ ~(b,d) -> f b >>= \c -> return (c,d))
        second (Kleisli f) = Kleisli (\ ~(d,b) -> f b >>= \c -> return (d,c))

instance Monad m => ArrowApply (Kleisli m) where
        app = Kleisli (\(Kleisli f, x) -> f x)

instance Monad m => ArrowChoice (Kleisli m) where
    left f = f +++ arr id
    right f = arr id +++ f
    f +++ g = (f >>> arr Left) ||| (g >>> arr Right)
    Kleisli f ||| Kleisli g = Kleisli (either f g)

前面给出了所有使用 monad 操作的常用箭头操作的实现。 (***) 没有被提及，因为它在 first 和 second 中有一个默认实现：

f *** g = first f >>> second g

所以现在我们知道如何使用 Monad 操作来实现箭头（Arrow、ArrowChoice、ArrowApply）操作。

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回答您关于为什么我们同时拥有Monad 和Arrow 的问题，如果它们是等价的：

当我们不需要 monad 的全部功能时，功能较弱的箭头很有用，就像应用函子很有用一样。尽管ArrowApply 和Monad 是等价的，但没有app 的Arrow 或ArrowChoice 在Monad 层次结构中是无法表示的。反之亦然，Applicative 在箭头层次结构中不可表示。 这是因为ap 在 monad 层次结构中是“第一”，而在箭头层次结构中是“最后”。

monad 和箭头世界之间的主要语义区别在于箭头捕获转换（arr b c 意味着我们从 b 生成 c），而 monad 捕获操作（monad a 生成 @987654357 @)。这种差异在Kleisli 和ArrowMonad 新类型中得到了很好的体现：

newtype Kleisli m a b = Kleisli { runKleisli :: a -> m b }
newtype ArrowApply a => ArrowMonad a b = ArrowMonad (a () b)

在Kleisli 中我们必须添加源类型a，在ArrowMonad 中我们将其设置为()。

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希望你满意！