单子定律的解释

Question

来自a gentle introduction to Haskell，有以下单子定律。谁能直观地解释一下它们的意思？

return a >>= k             = k a
m >>= return               = m
xs >>= return . f          = fmap f xs
m >>= (\x -> k x >>= h)    = (m >>= k) >>= h

这是我尝试的解释：

1. 我们希望返回函数包装a，这样它的一元性质就变得微不足道了。当我们将它绑定到函数时，没有单子效果，它应该只是将a 传递给函数。

2. m 的解包输出被传递给重新包装它的return。一元的性质保持不变。所以和原来的monad是一样的。

3. 解包后的值被传递给f，然后重新打包。一元的性质保持不变。这是我们将普通函数转换为一元函数时所期望的行为。

4. 我对这条法律没有任何解释。这确实表明 monad 必须是“几乎是关联的”。

Answer 1

就do 表示法而言，规则4 意味着我们可以添加一个额外的do 块来对一系列单子操作进行分组。

    do                          do
                                  y <- do
      x <- m                             x <- m
      y <- k x          <=>              k x
      h y                         h y

这允许返回一元值的函数正常工作。

Answer 2

你的描述看起来很不错。通常人们会说三个单子定律，即 1、2 和 4。您的第三个定律稍有不同，我稍后会谈到。

对于三个单子定律，我发现使用 Kleisli 组合重写它们时更容易直观地理解它们的含义：

-- defined in Control.Monad
(>=>) :: Monad m => (a -> m b) -> (b -> m c) -> a -> m c
mf >=> n = \x -> mf x >>= n

现在法律可以写成：

1) return >=> mf = mf                  -- left identity
2) mf >=> return = mf                  -- right identity
4) (f >=> g) >=> h = f >=> (g >=> h)   -- associativity

1) Left Identity Law - 返回一个值不会改变该值，也不会在 monad 中做任何事情。

2) 正确身份法则 - 返回一个值不会改变该值，也不会在 monad 中做任何事情。

4) 关联性 - 单子组合是关联的（我喜欢 KennyTM 对此的回答）

这两个恒等定律基本上说的是同一件事，但它们都是必要的，因为return 应该在绑定运算符的两边都有恒等行为。

现在是第三定律。这条定律本质上是说 Functor 实例和 Monad 实例在将函数提升到 monad 时的行为方式相同，并且都没有任何 monadic。如果我没记错的话，就是当一个 monad 遵守其他三个定律而 Functor 实例遵循 functor 定律时，那么这个陈述永远是正确的。

其中很多来自Haskell Wiki。 Typeclassopedia 也是一个很好的参考。

Answer 3

与其他答案没有分歧，但将单子定律视为实际描述 两个 组属性可能会有所帮助。正如约翰所说，您提到的第三条定律略有不同，但以下是其他定律的拆分方式：

绑定到 monad 的函数就像常规函数一样。

正如约翰的回答，所谓的单子的 Kleisli 箭头是一个类型为 a -> m b 的函数。将return 视为id 和(<=<) 视为(.)，单子法则就是这些的翻译：

1. id . f 等价于 f
2. f . id 等价于 f
3. (f . g) . h 等价于 f . (g . h)

单子效果的序列追加类似列表。

在大多数情况下，您可以将额外的一元结构视为与一元值相关的一系列额外行为；例如Maybe 是“放弃”Nothing 和“继续前进”Just。结合两个一元动作，然后本质上连接了它们所持有的行为序列。

在这个意义上，return 又是一个标识——空操作，类似于一个空的行为列表——而(>=>) 是连接。所以，单子定律是这些的翻译：

1. [] ++ xs 等价于 xs
2. xs ++ [] 等价于 xs
3. (xs ++ ys) ++ zs 等价于 xs ++ (ys ++ zs)

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这三个定律描述了一个可笑的常见模式，不幸的是 Haskell 不能完全概括地表达。如果你有兴趣，Control.Category 给出了“看起来像函数组合的东西”的概括，而Data.Monoid 概括了后一种不涉及类型参数的情况。

Answer 4

前三个定律说“return”只包装一个值而没有做其他事情。因此，您可以在不改变语义的情况下消除“返回”调用。

最后一条法则是绑定的结合性。这意味着您采取以下措施：

do
   x <- foo
   bar x
   z <- baz

把它变成

do
   do
      x <- foo
      bar x
   z <- baz

不改变意思。当然，您不会完全这样做，但您可能希望将内部“do”子句放在“if”语句中，并希望它在“if”为真时具有相同的含义。

有时 monad 并不完全遵循这些规律，尤其是在出现某种底部值时。只要其记录在案并且“在道德上是正确的”（即非底部值遵循法律，或者结果以某种其他方式被认为是等效的），就可以了。