kind * -> * 类型的示例，它不能是 Functor 的实例

Question

我是一个 Haskell 新手，如果答案很明显，我深表歉意，但我正在阅读 Typeclassopedia 以更好地理解类别。在做 Functors 部分的练习时，我遇到了这个问题：

举一个 * -> * 类型的例子，它不能作为一个实例 函子（不使用未定义的）。

我的第一个想法是定义某种无限递归的 fmap 定义，但这与在定义中使用undefined 本质上不一样吗？

如果有人能解释答案，将不胜感激。

谢谢！

原始练习的来源在这里，第 3 部分：http://www.haskell.org/haskellwiki/Typeclassopedia#Introduction

Answer 1

一个简单的例子是

data K a = K (a -> Int)

ghci 告诉我们的是，我们尝试自动为 K 派生一个 Functor 实例：

Prelude> :set -XDeriveFunctor
Prelude> data K a = K (a -> Int)
Prelude> :k K
K :: * -> *
Prelude> data K a = K (a -> Int) deriving Functor

<interactive>:14:34:
    Can't make a derived instance of `Functor K':
      Constructor `K' must not use the type variable in a function argument
    In the data type declaration for `K'

问题在于标准的Functor 类实际上表示协变 函子（fmap 将其参数提升到f a -> f b），但是您无法组合a -> b 和@ 987654332@ 获得b -> Int 类型的函数（参见Ramon 的回答）。但是，可以为逆变函子定义一个类型类：

class Contravariant f where
    contramap :: (a -> b) -> f b -> f a 

并将K 设为它的一个实例：

instance Contravariant K where
    contramap f (K g) = K (g . f)

有关 Haskell 中协变/逆变的更多信息，请参阅here。

编辑：这里还有来自 Reddit 上的 Chris Smith 的 a nice comment on this topic。

Answer 2

扩展我的（简短）评论和米哈伊尔的回答：

鉴于(-> Int)，您会期望fmap 看起来像这样：

(a -> Int) -> (a -> b) -> (b -> Int)

或：

(a -> Int) -> (a -> b) -> b -> Int

很容易证明，从(a -> Int)、(a -> b)、b 三个参数中，没有可能到达Int（没有undefined），因此从(a -> Int)、(a -> b)无法联系到(b -> Int)。结论：Functor 不存在 (-> Int) 的实例。

Answer 3

我也遇到了这个问题，我发现 Ramon 和 Mikhail 的回答内容丰富——谢谢！我将其放在答案而不是评论中，因为 500 个字符太短，而且对于代码格式化。

我在理解 (a -> Int) 的协变时遇到了困难，并想出了这个反例，显示 data K a = K (a -> Int) 可以成为 Functor 的实例（反驳 Ramon 的证明）

data K a = K (a -> Int)
instance Functor K where
  fmap g (K f) = K (const 0)

如果它编译，它一定是正确的，对吧？ ;-) 我花了一些时间尝试其他排列。翻转函数只是让它变得更容易：

-- "o" for "output"
-- The fmapped (1st) type is a function output so we're OK.
data K0 o = K0 (Int -> o)
instance Functor K0 where
  fmap :: (oa -> ob) -> (K0 oa) -> (K0 ob)
  fmap g (K0 f) = K0 (g . f)

将 Int 转换为类型变量将其简化为第 3.2 节练习 1 第 2 部分：

-- The fmapped (2nd) type argument is an output
data K1 a b = K1 (a -> b)
instance Functor (K1 a) where
  fmap :: (b1 -> b2) -> K1 a b1 -> K1 a b2
  fmap g (K1 f) = K1 (g . f)

强制 fmapped 类型成为函数的参数是关键......就像米哈伊尔的回答所说，但现在我明白了;-)

-- The fmapped (2nd) type argument is an input
data K2 a b = K2 (b -> a) 
instance Functor (K2 o) where
  fmap :: (ia -> ib) -> (K2 o ia) -> (K2 o ib)
  -- Can't get our hands on a value of type o
  fmap g (K2 f) = K2 (const (undefined :: o))
  -- Nor one of type ia
  fmap g (K2 f) = K2 (const (f (undefined :: ia)))