二维位数组的最大 OR 值答案

【问题标题】：Maximum OR value of 2D Array of bits二维位数组的最大 OR 值
【发布时间】：2017-12-28 13:56:26
【问题描述】：

假设有一个二维数组(m x n) 位。

例如：

这里，m = 4，n = 5。

我可以翻转（0 变为 1，1 变为 0）任何行中的位。当您翻转特定行中的位时，您会翻转所有位。

我的目标是获得给定行对之间的最大 OR 值。

也就是说，如果给定的行对是(r1, r2)，那么我可以在r1 和r2 之间翻转任意数量的行，并且我应该找到之间所有行的最大可能OR 值r1 和 r2。

在上面的例子中（考虑索引从 1 开始的数组），如果r1 = 1 和r2 = 4，我可以翻转第一行得到0 1 1 0 1。现在，如果我找到从 1 到 4 的所有行的 OR 值，我会得到 31 值作为最大可能的 OR 值（可以有其他解决方案）。

此外，最好计算 (r1, r1)、(r1, r1+1)、(r1, r1+2)、...、(r1, r2-1) 的答案，同时计算 (r1,r2) 的答案。

约束

1 <= m x n <= 10^6

1 <= r1 <= r2 <= m

一个简单的蛮力解决方案的时间复杂度为O(2^m)。有没有更快的计算方法？

【问题讨论】：

这个算法有什么应用？
我不明白你是怎么得到 O(2^m) 的，如果你一点一点地执行操作，对行对的天真迭代宁愿是 O(m*n^2)，或者 O(n^2) 如果 m
@aka.nice 因为有 m 行，我可以选择 nC0, nC1, nC2, nC3, ..., nCn 行来翻转。现在，nC0 + nC1 + nC2 + nC3 + ... + nCn = 2^n。
@NikunjMadhogaria 啊，现在我明白了，首先我反转了 m & n，其次，您可以 OR 任意数量的行，而不仅仅是一对行。

标签： algorithm multidimensional-array bit-manipulation dynamic-programming

【解决方案1】：

由于A <= A | B，数字A的价值只会随着我们OR更多的数字而上升。

因此，我们可以使用二分查找。

我们可以使用函数来获取两行之间的最大值并将ORed 结果保存为第三行。然后比较这第三行中的两个得到更高级别的行，然后再比较这两个更高级别的行，以此类推，直到只剩下一个。

使用您的示例：

array1 = 1 0 0 1 0 [0]
         1 0 1 0 0 [1]
         1 0 1 1 0 [2]
         0 0 0 0 1 [3]

array2 = 1 1 0 1 1 <-- [0] | ~[1]
         1 1 1 1 0 <-- [2] | ~[3]

array3 = 1 1 1 1 1 <-- [0] | [1]

显然，当m 不是 2 的幂时，您可以根据需要截断分支。

所以现在是O(m) 时间。请记住，对于大量行，可能没有唯一的解决方案。结果很可能是2 ^ n - 1。

一个重要的优化：如果m >= n，那么输出一定是2 ^ n - 1。假设我们有两个数字 A 和 B。如果 B 有 k 数字缺失位，那么 A 或 ~A 将保证至少填充其中一个位。类似地，如果m >= log n，那么输出也必须是2 ^ n - 1，因为每个A 或~A 都保证填充B 中至少一半的未填充位。

使用这些快捷方式，您可以根据需要进行蛮力搜索。我不是 100% 二进制搜索算法适用于每种情况。

【讨论】：

你如何决定~哪一行？
只需检查所有四种组合。可能两者都需要~。
考虑 100 行，在这种情况下，矩阵的上半部分和下半部分将有 2^50 种组合。
没有。第一层比较50对，第二层比较25对，第三层比较13对，依此类推。大约。总共 100 个。
你的意思是我们只会成对比较？怎么能说nth行对(n+2)th行没有影响？

【解决方案2】：

考虑到翻转整个矩阵中的行然后将它们组合在一起以获得尽可能多的 1 的问题，我声称当列数小于 2^m 时这是易于处理的，其中 m 是行数。逐行考虑。在我从 0 开始计数的阶段，你有少于 2^(m-i) 个零要填充。因为翻转一行会将 0 变为 1，反之亦然，因此当前行或翻转的行将填充这些零的至少一半。当您完成所有行后，您将有少于 1 个零要填充，因此此过程可以保证提供完美的答案。

我声称当列数至少为 2^m 时，这是易于处理的，其中 m 是行数。有 2^m 种可能的翻转行模式，但这只是 O(N)，其中 N 是列数。因此，在这种情况下，尝试所有可能的翻转行模式会给你一个 O(N^2) 算法。

【讨论】：