是否总是可以订购所有维度的多维数组？如何？答案

【问题标题】：Is it always possible to order a multi-dimensional array in all dimensions? How?是否总是可以订购所有维度的多维数组？如何？
【发布时间】：2013-08-06 12:10:53
【问题描述】：

假设，我有一个n 维整数数组（n=1 是向量，n=2 是矩形矩阵，n=3 是平行六面体等）。我需要对数组的元素重新排序，以便每一行、每一列等中的元素都处于非递减顺序。

任何输入数组都可以吗？
~~任何输入数组所需的排序是否唯一？~~ 我刚刚意识到这个问题的答案通常是否，例如对于方阵。
对于在所有维度上具有不同长度的任何输入数组，所需的排序是否唯一？
产生所需排序的最快算法是什么？

【问题讨论】：

您能否更准确地定义“重新排序”？
那么，对于一个二维整数数组，你会想要右下角的最大整数吗？在我看来，对每一列进行排序，然后每一行都会给你这样一个重新排序。不过，我确信有一种更快的方法。
@ZiyaoWei “重新排序”的意思是“重新排列”，“放置相同的元素是（可能）不同的顺序”。换句话说，结果数组必须包含相同的整数，具有相同的多重性（如果一个整数在输入数组的不同位置多次出现），但可能在不同的位置（无、一个、部分或全部元素的指数可能会改变）。
@AlptiginJalayr 是的，最大整数（或者，如果最大整数有多个副本，则其中一个）必须在矩阵的右下角（或者，对于一般多维数组，在所有索引都有其最大可能值的位置）。
@ZiyaoWei 我想知道，你在“重新排序”这个词中看到了什么歧义？

标签： arrays algorithm sorting multidimensional-array

【解决方案1】：

任何输入数组都可以吗？

是的，如果我们将数组视为具有相同数量元素的单维数组，然后对其进行排序，通过将其遍历回原始 n 维数组，它仍然是排序的，因为对于每个 @ 987654321@：所有i_k < i_k'：

i_1 + n1*i_2 + n2^2*i_3 + .... (n_k-1)^(k-1)(i_k) + ... < i_1 + n1*i_2 + n2^2*i_3 + .... (n_k-1)^(k-1)(i_k') + ...
Thus (the array is ordered):
arr[i_1 + n1*i_2 + n2^2*i_3 + .... (n_k-1)^(k-1)(i_k) + ...] < arr[ i_1 + n1*i_2 + n2^2*i_3 + .... (n_k-1)^(k-1)(i_k') + ...]
Thus (back to original array):
arr[i_1][i_2]...[i_k]... < arr[i_1][i_2]...[i_k']...

关于第二个问题：

对于任何具有不同的输入数组，所需的排序是否唯一？各个维度的长度？

没有：

1 1          1 3
3 4          1 4
5 6          5 6

产生所需排序的最快算法是什么？

已经提出了一种解决方案：将其视为一个很大的长数组并对其进行排序。复杂度为O(n_1*n_2*...*n_m*log(n_1*n_2*...*n_m))
我的直觉说，如果你能做得更快，你可以比O(nlogn) 更快地发泄，但我没有证据证明这种说法，所以它可能是错误的。

【讨论】：

我认为完全排序没有必要。
@lcn 这可能是多余的，我的直觉说不是——但我完全不确定。无论如何，答案的重点是表明它可以针对所有输入案例通过算法完成，如果存在的话，我也希望看到更优化的算法。

【解决方案2】：

让我详细介绍一下 Alptigin Jalayr 的想法。

假设我们对行进行了排序，那么对于以下数据，我们有a <= b 和c <= d。

     .       .
..., a, ..., b, ...
     .       .
..., c, ..., d, ...
     .       .

当a 大于c，即c <a，那么它们的交换给我们c < b，因为a <= b，和a <=d，因为b <= d（如果b > d，我们交换@ 987654332@ 和 d 以及）。总之，先对行进行排序，然后再对列进行排序可以为您提供所需的矩阵。

【讨论】：