不稳定的孔类型分辨率

Question

我最近发现，在证明中结合使用模式匹配的类型孔在 Haskell 中提供了非常好的类似 Agda 的体验。例如：

{-# LANGUAGE
    DataKinds, PolyKinds, TypeFamilies, 
    UndecidableInstances, GADTs, TypeOperators #-}

data (==) :: k -> k -> * where
    Refl :: x == x

sym :: a == b -> b == a
sym Refl = Refl 

data Nat = Zero | Succ Nat

data SNat :: Nat -> * where
    SZero :: SNat Zero
    SSucc :: SNat n -> SNat (Succ n)

type family a + b where
    Zero   + b = b
    Succ a + b = Succ (a + b)

addAssoc :: SNat a -> SNat b -> SNat c -> (a + (b + c)) == ((a + b) + c)
addAssoc SZero b c = Refl
addAssoc (SSucc a) b c = case addAssoc a b c of Refl -> Refl

addComm :: SNat a -> SNat b -> (a + b) == (b + a)
addComm SZero SZero = Refl
addComm (SSucc a) SZero = case addComm a SZero of Refl -> Refl
addComm SZero (SSucc b) = case addComm SZero b of Refl -> Refl
addComm sa@(SSucc a) sb@(SSucc b) =
    case addComm a sb of
        Refl -> case addComm b sa of
            Refl -> case addComm a b of
                Refl -> Refl 

真正的好处是我可以用类型孔替换Refl -> exp 结构的右侧，并且我的孔目标类型会随着证明进行更新，与Agda 中的rewrite 形式非常相似.

但是，有时洞只是无法更新：

(+.) :: SNat a -> SNat b -> SNat (a + b)
SZero   +. b = b
SSucc a +. b = SSucc (a +. b)
infixl 5 +.

type family a * b where
    Zero   * b = Zero
    Succ a * b = b + (a * b)

(*.) :: SNat a -> SNat b -> SNat (a * b)
SZero   *. b = SZero
SSucc a *. b = b +. (a *. b)
infixl 6 *.

mulDistL :: SNat a -> SNat b -> SNat c -> (a * (b + c)) == ((a * b) + (a * c))
mulDistL SZero b c = Refl
mulDistL (SSucc a) b c = 
    case sym $ addAssoc b (a *. b) (c +. a *. c) of
        -- At this point the target type is
        -- ((b + c) + (n * (b + c))) == (b + ((n * b) + (c + (n * c))))
        -- The next step would be to update the RHS of the equivalence:
        Refl -> case addAssoc (a *. b) c (a *. c) of
            Refl -> _ -- but the type of this hole remains unchanged...

此外，即使目标类型不一定在证明中排列，如果我从 Agda 粘贴整个内容，它仍然可以检查：

mulDistL' :: SNat a -> SNat b -> SNat c -> (a * (b + c)) == ((a * b) + (a * c))
mulDistL' SZero b c = Refl
mulDistL' (SSucc a) b c = case
    (sym $ addAssoc b (a *. b) (c +. a *. c),
    addAssoc (a *. b) c (a *. c),
    addComm (a *. b) c,
    sym $ addAssoc c (a *. b) (a *. c),
    addAssoc b c (a *. b +. a *. c),
    mulDistL' a b c
    ) of (Refl, Refl, Refl, Refl, Refl, Refl) -> Refl

您对为什么会发生这种情况有任何想法（或者我如何以稳健的方式进行证明重写）？

Answer 1

如果您想生成所有可能的此类值，那么您可以编写一个函数来执行此操作，可以使用提供的或指定的边界。

很可能使用类型级别的教堂数字或类似的东西来强制创建这些数字，但对于您可能想要/需要的东西来说，这几乎肯定是太多的工作。

这可能不是你想要的（即“除了使用 (x, y)，因为 z = 5 - x - y”），但它比试图对类型级别进行某种强制限制更有意义用于允许有效值。

Answer 2

这是因为值是在运行时确定的。它可以根据运行时输入的内容进行值的转换，因此它假定孔已经更新。