查找具有特定属性的数字子串

Question

我得到一个仅由 0 到 9 的数字组成的字符串。我想计算其中有多少子字符串是 2 的幂。

例如对于子串 2560616，子串 256 和 16 是 2 的幂。我需要计算任何给定子串中有多少这样的子串。

请注意，子字符串非常大，因此蛮力无法工作。所以我主要想解决2个问题

1. 如何有效地计算所有 2 次方的子串
2. 如何有效地计算子串是否是 2 的幂

我认为可能有 DP 方法，但我不确定。

Answer 1

使用以下算法从 2 的幂的数字创建一棵树：

1. 从代表空字符的根开始。
2. 获取 2 的下一个幂，以相反的顺序获取其数字。
   1. 选择根。选择当前号码的最后一位。
   2. 转到与所选数字对应的所选节点的子节点。如果它尚不存在，请创建它。
   3. 选择当前号码的前一位。从 (2.) 重复直到没有更多的数字。
   4. 将当前节点标记为有效端点。
3. 从 (2.) 重复直到位数 > 10^5

这棵树可能会占用几 GB 的内存。

现在你有了你的树。要计算 2 次方的子串数量，请执行以下操作：

1. 从字符串末尾开始。
2. 获取前一个字符。
   1. 选择树的根。
   2. 选择前一个字符（从外部 (2.) 中选择的字符开始）。
   3. 选择所选数字对应的所选节点的子节点。
   4. 如果选定的子节点被标记为有效端点，则将 count 加 1。
   5. 从 (2.) 开始重复，直到所选节点为空或到达字符串的第一个字符。
   6. 返回外部 (2.) 中选择的字符
3. 选择前一个字符。从 (2.) 重复直到到达字符串的开头。

算法的描述不是“准备考试”，但我希望它可以理解。