为什么 NUMPY correlate 和 corrcoef 返回不同的值以及如何在“完整”模式下“标准化”相关？

Question

我正在尝试在 Python 中使用 Numpy 进行时间序列分析。

我有两个中等大小的系列，每个都有 20k 值，我想检查滑动相关性。

corrcoef 给了我一个自相关/相关系数矩阵作为输出。在我的情况下，它本身没有任何用处，因为其中一个系列包含滞后。

correlate 函数（在 mode="full" 中）返回一个 40k 元素列表，该列表看起来确实像我想要的结果（峰值与列表中心一样远，因为 Lag 表示)，但这些值都很奇怪 - 最多 500，而我期待的是从 -1 到 1 的值。

我不能把它全部除以最大值；我知道最大相关性不是 1。

如何标准化“互相关”（“完整”模式下的相关），以便返回值将是每个滞后步骤的相关性，而不是那些非常大、奇怪的值？

Answer 1

您正在寻找归一化的互相关。此选项在 Numpy 中尚不可用，但 a patch 正在等待审核，这正是您想要的。我认为应用它应该不会太难。大多数补丁只是文档字符串的东西。它添加的唯一代码行是

if normalize:
    a = (a - mean(a)) / (std(a) * len(a))
    v = (v - mean(v)) /  std(v)

其中 a 和 v 是输入的 numpy 数组，您将在其中找到互相关。将它们添加到您自己的 Numpy 发行版中或者只是制作相关函数的副本并在那里添加行应该不难。如果我选择走这条路，我会亲自做后者。

另一个可能更好的替代方法是在将输入向量发送到相关之前对其进行归一化。由您自己决定。

顺便说一句，除了除以len(a) 而不是(len(a)-1) 之外，这似乎是根据Wikipedia page on cross-correlation 的正确规范化。我觉得这种差异类似于standard deviation of the sample vs. sample standard deviation，在我看来真的不会有太大的不同。

Answer 2

根据这个slides，我建议这样做：

def cross_correlation(a1, a2):
        lags = range(-len(a1)+1, len(a2))
        cs = []
        for lag in lags:
            idx_lower_a1 = max(lag, 0)
            idx_lower_a2 = max(-lag, 0)
            idx_upper_a1 = min(len(a1), len(a1)+lag)
            idx_upper_a2 = min(len(a2), len(a2)-lag)
            b1 = a1[idx_lower_a1:idx_upper_a1]
            b2 = a2[idx_lower_a2:idx_upper_a2]
            c = np.correlate(b1, b2)[0]
            c = c / np.sqrt((b1**2).sum() * (b2**2).sum())
            cs.append(c)
        return cs

Answer 3

对于full 模式，直接在滞后信号/特征上计算corrcoef 是否有意义？代码

from dataclasses import dataclass
from typing import Any, Optional, Sequence

import numpy as np

ArrayLike = Any


@dataclass
class XCorr:
    cross_correlation: np.ndarray
    lags: np.ndarray


def cross_correlation(
    signal: ArrayLike, feature: ArrayLike, lags: Optional[Sequence[int]] = None
) -> XCorr:
    """
    Computes normalized cross correlation between the `signal` and the `feature`.
    Current implementation assumes the `feature` can't be longer than the `signal`.
    You can optionally provide specific lags, if not provided `signal` is padded
    with the length of the `feature` - 1, and the `feature` is slid/padded (creating lags)
    with 0 padding to match the length of the new signal. Pearson product-moment
    correlation coefficients is computed for each lag.

    See: https://en.wikipedia.org/wiki/Cross-correlation

    :param signal: observed signal
    :param feature: feature you are looking for
    :param lags: optional lags, if not provided equals to (-len(feature), len(signal))
    """
    signal_ar = np.asarray(signal)
    feature_ar = np.asarray(feature)
    if np.count_nonzero(feature_ar) == 0:
        raise ValueError("Unsupported - feature contains only zeros")
    assert (
        signal_ar.ndim == feature_ar.ndim == 1
    ), "Unsupported - only 1d signal/feature supported"
    assert len(feature_ar) <= len(
        signal
    ), "Unsupported - signal should be at least as long as the feature"
    padding_sz = len(feature_ar) - 1
    padded_signal = np.pad(
        signal_ar, (padding_sz, padding_sz), "constant", constant_values=0
    )
    lags = lags if lags is not None else range(-padding_sz, len(signal_ar), 1)
    if np.max(lags) >= len(signal_ar):
        raise ValueError("max positive lag must be shorter than the signal")
    if np.min(lags) <= -len(feature_ar):
        raise ValueError("max negative lag can't be longer than the feature")
    assert np.max(lags) < len(signal_ar), ""
    lagged_patterns = np.asarray(
        [
            np.pad(
                feature_ar,
                (padding_sz + lag, len(signal_ar) - lag - 1),
                "constant",
                constant_values=0,
            )
            for lag in lags
        ]
    )
    return XCorr(
        cross_correlation=np.corrcoef(padded_signal, lagged_patterns)[0, 1:],
        lags=np.asarray(lags),
    )

例子：

signal = [0, 0, 1, 0.5, 1, 0, 0, 1]
feature = [1, 0, 0, 1]
xcorr = cross_correlation(signal, feature)
assert xcorr.lags[xcorr.cross_correlation.argmax()] == 4