为什么我的双精度值可以包含低于机器 epsilon 的值？答案

【问题标题】：Why my double can contain a value below the machine epsilon?为什么我的双精度值可以包含低于机器 epsilon 的值？
【发布时间】：2017-09-26 11:17:36
【问题描述】：

我正在使用双精度解一个方程，我得到了-7.07649e-17 作为解而不是0。

我同意它足够接近，我可以说它相等，但 I've read that the machine epsilon for the C++ double type is 2^-52 大于我得到的值。

那么为什么我的值比机器 epsilon 差？为什么值不四舍五入为零？

这没什么大不了的，但是当我进行逻辑测试时，我的值似乎不为零......

【问题讨论】：

为什么不能包含那个值？
@immibis 是的，我应该先问自己这个问题......我认为机器 epsilon 是最小的可计算数，但 Dialecticus 告诉我它不是。我也应该读过：en.wikipedia.org/wiki/Double-precision_floating-point_format ...

标签： c++ precision epsilon

【解决方案1】：

这个故事中有两个不同的常数。一个是 epsilon，它是一个最小值，当添加到 1.0 时会产生与 1.0 不同的值。如果将较小的值添加到 1.0，您将再次得到 1.0，因为计算机中数字的表示存在物理限制。但是有些值小于 epsilon 并且大于零。使用std::numeric_limits<double>::min 获得的double 的最小此类数字。

作为参考，您可以使用 std::numeric_limits<double>::epsilon 获得 epsilon。

【讨论】：

哦，所以当与1.0 相加但不等于0 时，有些值充当0，很奇怪......但是谢谢！你知道允许这些值有什么意义吗？
@RandomTourist 可以说对于某些浮点类型，epsilon 是 0.01。然后是1.0 + 0.005 == 1.0，但是0.1 + 0.005 != 0.1
@Caleth 啊！您是否暗示 0.1 + 0.005 可以被视为 (1.0 + 0.05) / 10 并且因为 0.05 > epsilon 它可以在不损失精度的情况下计算？确实有道理，谢谢！
@RandomTourist 是的，epsilon 不是绝对值，而是一个比率。 1.0E20 + 1.0 == 1.0E20 也成立
@RandomTourist 您可以将二进制浮点格式与十进制格式进行比较；如果我存储一个带有 2 个有效数字的十进制数字，那么我可以写下 1.0，并且 1.0 + 0.10 = 1.1，但 1.0+0.099 = 1.0（如果向下舍入）。但是 0.099 是一个完全有效的数字，有 2 个有效数字，我仍然可以进行 0.099+0.0010 = 0.10 这样的计算

【解决方案2】：

您不能保证会在任何特定时间进行舍入。 C++ 标准允许实现在几乎任何地方使用额外的精度，许多现实世界的实现正是这样做的。

【讨论】：

我很感谢投反对票者的解释。如果这是不正确的，我想更正它。如果不清楚，我想澄清一下。
解释很简单；这没有回答问题。
感谢您的回答，但为什么要使用额外的精度？我以为类型已经设置了精度...
@BoundaryImposition 该问题询问为什么它不四舍五入为零。不需要四舍五入为零，IMO 回答了这个问题。
@RandomTourist 想象一台只有浮点寄存器来存储双精度值的机器。因此，您可以在存储时将单精度值加载到寄存器中或舍入到单精度，但不能直接对单精度进行操作。该语言不需要这样的平台来舍入中间值，并允许实现在便于实现的任何地方使用更高精度的表示。你的平台是这样的。

【解决方案3】：

浮点精度问题的一个常见解决方案是自己定义一个 epsilon 值并与它进行比较而不是零。

例如

double epsilon = 0.00001;
if (abs(value) < epsilon) // treat value as 0 in your code

【讨论】：

这不能回答问题，是吗？
是的，谢谢，这就是我所做的，但我仍然不明白为什么允许一个类型包含比它“应该”更差的值......
@BoundaryImposition 这可能不是一个直接的答案，但在我看来，这是解决 OP 面临的问题的有效解决方案......
@xander：OP 并没有要求解决问题。 OP 要求提供有关 double 类型如何工作的事实。