Scala 的 Option fold 以何种方式变态？答案

【问题标题】：In what way is Scala's Option fold a catamorphism?Scala 的 Option fold 以何种方式变态？
【发布时间】：2014-07-06 14:45:30
【问题描述】：

this 问题的答案表明，Scala 中 Option 上的 fold 方法是一种变态。来自维基百科的catamophism 是“从初始代数到其他代数的独特同态。这个概念已被应用于函数式编程作为折叠”。所以这看起来很公平，但将我引向initial algebra 作为F-algebras 类别中的初始对象。

因此，如果 Option 上的折叠确实是一个变态，则需要一些函子 F，以创建 F 代数的类别，其中 Option 将是初始对象。我不知道这个函子会是什么。

对于A 类型的列表，函子F 是F[X] = 1 + A * X。这是有道理的，因为 List 是一种递归数据类型，所以如果 X 是 List[A]，那么上面读取的类型为 A 的列表要么是空列表 (1)，要么是 (+) A 和 List[A] 的对 (*)。但是 Option 不是递归的。 Option[A] 将只是 1 + A（什么都没有或 A）。所以我看不到函子在哪里。

为了清楚起见，我意识到 Option 已经是一个函子，因为它需要 A 到 Option[A]，但是对列表所做的事情是不同的，A 是固定的，函子用于描述如何递归构造数据类型。

在相关的说明中，如果它不是变质，它可能不应该被称为折叠，因为这会导致一些confusion。

【问题讨论】：

您认为F 必须是递归的依据是什么？许多代数数据类型不是。在任何情况下，你总是可以“作弊”并写出类似F[X] = 1 + Const A X的东西。
F[X] = 1 + Const A X 和F[X] = 1 + A 的函子一样吗？（将每种类型发送到 Option[A] 的函子。）我想这可行，但它是如此微不足道，以至于我认为还会发生更多事情。在这个 F 下，任何 F 代数都只是一个类型 B，具有从 Option[A] 到 B 的映射。然后初始性只是说给定类型 B 和从 Option[A] 到 B 的映射，存在唯一映射从 Option[A] 到 B。homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/…（从维基百科链接）也暗示初始 F 代数的点是针对递归数据类型的。
此外，如果您允许常量函子，那么对于任何类型T，您可以考虑函子F[X] = T。那么一个 F 代数就是一个简单的类型B 和一个从T 到B 的映射g。 T 立即是初始代数，并且转模只是将g 应用于T 类型的对象。这似乎是正在发生的事情，因为 Option[A] 是 A 和 Nothing 的副产品，并且从 Option[A] 到 B 的映射拆分为从 A 到 B 的映射和一个映射从Nothing到B，符合fold在Option上的类型签名。

标签： scala category-theory scala-option catamorphism recursion-schemes

【解决方案1】：

嗯，cmets 是在正确的轨道上。我只是一个初学者，所以我可能有一些误解。是的，重点是能够对递归类型进行建模，但我认为没有什么可以排除“非递归”F-代数。由于初始代数是方程 X ~= F X 的“最小不动点”解。在 Option 的情况下，解是微不足道的，因为不涉及递归:)

初始代数的其他例子：

List[X] = 1 + A * X 表示列表 = Nil |缺点列表

Tree[X] = A + A * X * X 表示树 = 叶 a |节点一棵树树

同理：

Option[X] = 1 + A 表示 option = None |一些

“常数”函子存在的理由很简单，你如何表示树的节点？事实上，要对（简单）递归数据类型进行代数建模，您只需要以下仿函数：

U（单位，代表空）
K（常量，捕获一个值）
I（身份，代表递归位置）
*（产品）
+（副产品）

我找到的一个很好的参考是Functional Generic Programming

无耻的插件：我在scala-reggen 的代码中使用这些概念

【讨论】：