欧拉-马斯切罗尼常数答案

【问题标题】：Euler-Mascheroni Constant欧拉-马斯切罗尼常数
【发布时间】：2021-11-15 21:48:20
【问题描述】：

在编程中，我只使用整数。但这一次进行一些计算。我需要计算 Euler-Mascheroni Constant γ 。直到小数点后第 n 个。{虽然 n ∈ [30, 150] 对我来说已经足够了。

[x] = gif(x) = math.floor(x)

但是，我怀疑精度 Numerical Algorithm

我需要使用 Python 获得更高的准确度。

【问题讨论】：

既然它是一个常数，如果您需要它进行其他计算，为什么不在源代码中包含前几百位数字呢？另一方面，如果您需要自己进行近似计算（例如，作为家庭作业项目），那么decimal 模块是您的最佳选择。
@JohnColeman（所以你教数学并给我作业？？？？）谢谢！困难在于收敛。
虽然常数可能是一个无理数，但如果您想自己计算该值，您可能还需要考虑使用 Python 的 fractions 模块。这将减少选择特定小数精度的需要。
我懒得写 Python 代码，但是来自Xavier Gourdon and Pascal Sebah 的站点看起来很棒。具体来说，page 的第 6 段给出了超过 1600 位小数的 C 代码...
@DarshanPatil：在你的源代码中包含前 150 位数字有什么困难？在源代码中包含前 150 位数字意味着您只需从任何参考源获取前 150 位数字，或者使用 Maple 等专用软件计算一次，然后就完成了。无论您是什么意思，您都不必处理“融合”。

标签： python algorithm math precision floating-accuracy

【解决方案1】：

您可以计算它使用 python Decimal 内置模块来控制您要使用的小数位数 (https://docs.python.org/2/library/decimal.html)。

a = 1/7
len(str(a))-2
Out[1] 17

使用十进制：

from decimal import *
getcontext().prec = 90 #90 decimals precision
a = Decimal(1) / Decimal(7)
len(str(a))-2
Out[2] 90

基本上：

n = 100000
Euler_Mascheroni = -Decimal(log(Decimal(n))) + sum([Decimal(1)/Decimal(i) for i in range(1,n)])
Euler_Mascheroni

Out[3] Decimal('0.577210664893199330073570099082905499710324918344701101627529415938181982282214')

最后，你可以“任意”提高精度：

from decimal import *
from math import log

def Euler_Mascheroni(n,nth_decimals = 80):
    getcontext().prec = nth_decimals
    
    SUM = Decimal(0)
    for i in range(1,n):
        SUM+=Decimal(1)/Decimal(i)
    
    return -Decimal(log(Decimal(n))) + SUM
Euler_Mascheroni(100000000,nth_decimals = 120)

给出：

Decimal('0.5772156599015311156682000509495086978690376512201034388184221886576113026091829254475798266636558124658249350393045066')

回复@Stef 的评论

EM = Decimal(0.57721566490153286060651209008240243104215933593992)#reference taken from wikipedia

n = 100000000
Decimal(log(Decimal(n)))

getcontext().prec = 100
SUM = Decimal(0)
for i in range(1,n):
    SUM+=Decimal(1)/Decimal(i)

EM - (SUM-Decimal(log(Decimal(n))))

会给

Decimal('5.00000174 ... 85E-9')

【讨论】：

您的结果与sympy.EulerGamma.evalf() 不同，从小数点后第 6 位开始：print(sympy.EulerGamma.evalf() - Euler_Mascheroni) 结果为 5.00000833358882e-6。我通过与Wikipedia 给出的 50 位值进行比较来检查，它也从小数点后 6 位开始有所不同。因此，看起来调整模块 Decimal 的小数位数不足以修复近似误差。
其实近似round( (1.-m.gamma(1+1.e-8))*1.e14 )*1.e-6比-Decimal(log(Decimal(n))) + sum([Decimal(1)/Decimal(i) for i in range(1,n)])更准确
另外，您使用的是哪个log？我用math.log 来试试你的代码；您唯一的导入是from decimal import *，但模块十进制没有log。我建议使用import decimal as d而不是from decimal import *，这样读者可以更容易地弄清楚你正在使用哪些功能。
你说得对，单靠更多的小数点并不能解决问题，我们需要更多的迭代。通过改进编辑了我的答案。另外，我使用了数学中的日志。问题是关于获取常量的实际值的注意事项，但要计算它，使用任意（30 到 80 位小数）精度。
您使用 100000000 次迭代来获得 5 个小数位的精度。这是一个好兆头，表明该方法效率不高，需要更好的方法。仅当您的方法的精度优于 float 的精度时，才需要使用 Decimal 而不是 float，而这远非目前的情况。

【解决方案2】：

从French Wikipedia discussion page，近似到小数点后 6 位：

import math as m
EulerMascheroniApp = round( (1.-m.gamma(1+1.e-8))*1.e14 )*1.e-6
print(EulerMascheroniApp)
# 0.577216

这个常量也可以在 sympy 模块中使用，名称为EulerGamma：

>>> import sympy
>>> sympy.EulerGamma
EulerGamma
>>> sympy.EulerGamma.evalf()
0.577215664901533
>>> - sympy.polygamma(0,1)
EulerGamma
>>> sympy.stieltjes(0)
EulerGamma
>>> sympy.stieltjes(0, 1)
EulerGamma

文档：

如果默认的 .evalf() 不够，您可以在最后一个文档链接中找到有关如何更精确地评估常量的更多信息。

如果您仍想自己计算常数作为练习，我建议将您的结果与 sympy 的常数进行比较，以检查准确性和正确性。

【讨论】：

EulerMascheroniApp = round( (1.-m.gamma(1+1.e-8))*1.e14 )*1.e-6, 中的精度怎么提高？
我尝试使用round函数，并获得了两个位置，但没有更多：g = 0.57721566490153286060651209008240243104215933593992g - round( (1.-m.gamma(1+1.e-8))*1.e14 )*1.e-6 # -3.350984670857926e-07g - round( (1.-m.gamma(1+1.e-8))*1.e15 )*1.e-7 # 6.490153292570966e-08g - round( (1.-m.gamma(1+1.e-8))*1.e16 )*1.e-8 # 3.4901532885989184e-08g - round( (1.-m.gamma(1+1.e-8))*1.e17 )*1.e-9 # 3.390153280324881e-08
@Stef 这很有帮助。你真的做到了。谢谢！用于文件。
@Stef 最后我安装了 sympy 并且可以接受你的回答?。