浮点算术 - 指数位答案

【问题标题】：Floating-point arithmetic - bits of the exponent浮点算术 - 指数位
【发布时间】：2019-07-25 03:52:29
【问题描述】：

我有一个关于浮点运算的一般性问题。

最近，我对了解程序中的计算产生了浓厚的兴趣，因此我开始解题。我想让你解释一下让我特别困惑的一个：

计算机 epsilon（不仅作为十进制值，还作为 二进制指数的位数）。机器ε是取决于尾数的位数还是指数的位数？

这是我的微积分：

def exponent():
    expon = 0
    for number in range(1000):
         if 1.0+2.0**(-number)>1.0:
             expon = number
    return expon

print(exponent())
print(2**(exponent())) # Prints decimal value

输出：

52
2.220446049250313e-16

正确吗？我对粗体文本的解释有疑问。我必须确定它是 8 位还是 11 位？我怎样才能做到这一点？是否正确的假设是，epsilon 取决于尾数的位数，因为它们决定了浮点数的精度？

【问题讨论】：

标签： python-3.x floating-point epsilon

【解决方案1】：

你写的文字写得不好。目前尚不清楚将数字“作为二进制指数的位数”来计算意味着什么。例如，如果二进制指数的位数是 11，那么将一个数计算为 11 意味着什么？如果有人说“将 7 乘以 13 为 11”，那将毫无意义。

所谓的机器 epsilon，即 1 和下一个更大的可表示数字之间的差值，仅取决于有效数字可用的位数（以 2 为底的位）。¹

2⁻⁵² 是 IEEE-754 基本 64 位二进制浮点的机器 epsilon。由于它有一个 53 位有效位（52 位显式编码，一个通过指数字段编码），当高位表示 2⁰ 时，对于 1 和 2 之间的数字，低位有效数字的代表2^-52。

脚注

¹ “有效位”是浮点数小数部分的首选术语。尾数是对数的小数部分。

【讨论】：