优化数据集的浮点加/子/mul/div

Question

假设我们有一个数字数据集，我们想使用计算机使用加法/减法/乘法/除法对其进行一些计算。

浮点表示对实数的覆盖范围变化很​​大，具体取决于所表示的数字：

就真实->FP 映射的绝对精度而言，“空洞”向更大的数字增长，在 0 附近有一个奇怪的空洞，具体取决于架构。因此，对较大数字的加/减精度会下降。

如果我们将浮点表示中表示的 2 个连续数字相除，则除法的结果将更大，无论是在处理更大的数字时，还是在处理越来越小的分数时。

所以，我的问题是：

现在普通 PC 上的浮点数是否存在“甜蜜区间”，其中使用上述运算符 (add/sub/mul/div) 的算术结果更精确？

如果我有一个包含许多有效数字的数据集，例如"123123123123123"、"134534513412351151" 等，我想用它做一些算术运算，将其转换为哪个浮点间隔，以获得结果的最佳精度？

• 由于浮点数类似于1.xxx*10^yyy、2.xxx*10^yyy、...、9.xxx*10^yyy，我认为，将我的数字转换为 [1, 9] 区间将为消耗的内存提供最佳结果，但我可能大错特错...

假设我使用 C，甚至可以进行这样的转换吗？是否有最佳实践来做到这一点？在操作之前，C 会将操作数转换为相同的格式，所以我想我必须使用字符串表示，注入一个“。”某处并将其解析为浮点数。

请注意：

这是一个理论问题，我手头没有实际的数据集来决定什么是最好的。同样，提到 C 是随机的，我也对诸如“忘记 C，我会使用这个和这个，因为它支持这个和这个”这样的回答感兴趣。

请不要让我回答“这个无法回答，因为它取决于实际操作，因为结果可能在原始数据之外的另一个幅度范围内，等等等等。”。让我们假设计算的结果与操作数或多或少在相同的区间内。当然，当划分“或多或少相同大小”的操作数时，结果将在 1-10 之间，可能是 0.1-100，... ，但这可能正是它们可以处于的最佳区间。

当然，如果答案包括一些解释，而不是刷刷，我会很乐意阅读它！

Answer 1

浮点数的绝对精度会随着数字的大小而变化，因为指数会发生变化。相对精度不会改变，除了指数范围底部附近发生下溢的数字。如果将二进制浮点数乘以 2 的幂，执行算术运算（针对缩放进行适当调整）并反转缩放，则结果将与不缩放的算术相同，除非溢出和下溢的影响。如果您的算术确实涉及下溢或上溢，那么缩放可以帮助避免这种情况。例如，如果您的精度受到影响，因为您的数字太小，以至于某些中间结果低于浮点格式的正常范围，那么按 2 的幂进行缩放可以避免下溢导致精度损失。

如果您按非 2 的幂进行缩放，则结果可能会有所不同，因为有效数字发生了变化。影响通常很小，结果是好是坏实际上是随机的，除非在精心设计的特殊情况下。