除以和或差的最精确的数值方法是什么？答案

【问题标题】：What is the most numerically precise method for dividing sums or differences?除以和或差的最精确的数值方法是什么？
【发布时间】：2016-12-20 06:54:44
【问题描述】：

考虑(a-b)/(c-d) 操作，其中a、b、c 和d 是浮点数（即，double 在 C++ 中键入）。 (a-b) 和 (c-d) 都是 (sum-correction) 对，如 Kahan summation algorithm。简而言之，这些 (sum-correction) 对的特殊之处在于，sum 包含的值相对于correction 中的值较大。更准确地说，correction 包含因数值限制而在求和期间不适合 sum 的内容（double 类型中的尾数为 53 位）。

考虑到上述数字的特殊性，计算(a-b)/(c-d) 的最精确的数字方法是什么？

额外问题：最好将结果也设为 (sum-correction)，就像在 Kahan 求和算法中一样。所以要找到(e-f)=(a-b)/(c-d)，而不仅仅是e=(a-b)/(c-d)。

【问题讨论】：

标签： algorithm floating-point sum numeric division

【解决方案1】：

Dekker (1971) 的div2 算法是一个很好的方法。

它需要一个mul12(p,q) 算法，该算法可以精确地计算一对u+v = p*q。 Dekker 使用一种称为 Veltkamp 拆分的方法，但如果您可以访问 fma 函数，那么更简单的方法是

u = p*q
v = fma(p,q,-u)

实际的除法看起来像（我不得不更改一些符号，因为 Dekker 使用加法对而不是减法）：

r   = a/c
u,v = mul12(r,c)
s   = (a - u - v - b + r*d)/c

总和r+s 是(a-b)/(c-d) 的精确近似值。

更新：假设减法和加法是左关联的，即

s = ((((a-u)-v)-b)+r*d)/c

这是有效的，因为如果我们让 rr 成为 r 计算中的错误（即 r + rr = a/c 完全正确），那么由于 u+v = r*c 完全正确，我们有 rr*c = a-u-v 完全正确，因此 (a-u-v-b)/c对(a-b)/c 的校正项给出了相当好的近似。

最终的r*d 出现是由于以下原因：

(a-b)/(c-d) = (a-b)/c * c/(c-d) = (a-b)/c *(1 + d/(c-d)) 
            = [a-b + (a-b)/(c-d) * d]/c

现在r 也是(a-b)/(c-d) 的一个相当好的初始近似值，因此我们将其替换为[...]，因此我们发现(a-u-v-b+r*d)/c 是(a-b)/(c-d) 校正项的一个很好的近似值

【讨论】：

return r+s 是指 e=r 和 f=-s 表达式中的 (e-f)=(a-b)/(c-d) 吗？还是有错误，确实是e=r 和f=s（不否定s）？
结果应该是r+s = (a-b)/(c-d)
我还没有检查过这个方法（需要大量时间来深入思考），但是fma() 的东西非常有用，+1。基本上，(a - u - v - b + r*d) 不会丢失精度，还是这里期望 Kahan 求和？
所以我已经深入思考，现在我明白了除了添加r*d之外的所有内容：它如何使结果在数字上更精确？
我已经为r*d的来源添加了解释

【解决方案2】：

对于微小的修正，也许可以考虑

(a - b) / (c - d) = a/b (1 - b/a) / (1 - c/d) ~ a/b (1 - b/a + c/d)

【讨论】：