在 Python 中查找方程的所有根答案

【问题标题】：Finding all roots of an equation in Python在 Python 中查找方程的所有根
【发布时间】：2015-04-27 17:52:45
【问题描述】：

我有一个函数，我想找到它的根源。我可以编写一个程序来找出它的根，但重点是，每次我想找到另一个根时，我都应该手动给它一个初始值，我不想这样做。我想把所有的根都放在一个列表中，因为我想在找到根之后对它们进行一些操作。这是我的代码：

import math
import scipy
import scipy.optimize
c = 5
alambda = 1
rho = 0.8
b = rho * c / alambda
def f(zeta):
    y = ((zeta**c)*(math.exp((alambda*b)*(1-zeta)))) - 1
    return y

print scipy.optimize.newton(f,  -1)

【问题讨论】：

没有算法可以计算一个函数的所有根，除了一些特殊结构的函数（例如多项式等）。对于您的函数，根似乎可以与 Lambert W 函数相关。
确实，我会赞同@pv. 的评论。你需要在函数上使用一些聪明（并且有一些关于变得更聪明的文献），但最终，在某种意义上，你注定要失败，即使你知道所有的根源都是真实的。如果它们可以变得复杂，那么生活会变得更加艰难......

标签： python function scipy

【解决方案1】：

对于整数 c，函数的根由 Lambert W 函数给出，https://en.wikipedia.org/wiki/Lambert_W_function

from numpy import exp, pi
from scipy.special import lambertw
c = 3
alambda = 1.234
rho = 0.8
b = rho * c / alambda
def f(zeta):
    y = ((zeta**c)*(exp((alambda*b)*(1-zeta)))) - 1
    return y
def zeta_root(k, n):
    a = alambda
    return -c/(a*b) * lambertw(-a*b/c * exp(-(a*b+2j*pi*n)/c), k=k)
for k in range(-20, 20):
    # also n can be any integer; probably reproduces the same root set
    # as varying k
    zeta = zeta_root(k, 3)
    print("k={0}, zeta={1}, error={2}".format(k, zeta, abs(f(zeta))))

方程有无数个复值根。对应于 Lambert W 函数实分支的 k=0 和 k=-1 根可能是实值的。

对于非整数c，由于额外的分支切割，情况似乎有点复杂，尽管至少应该捕获实值正根。

【讨论】：

假设我有自己的代码，我想通过给出初始值来计算复数根。可能吗？并假设我只对它们的大小小于 1 的根感兴趣。
当您有问题的解析解时，为什么要计算给出初始值的解？至于您的第二个问题：查找 Lambert W 函数的属性并尝试解决。
我不知道你为什么使用 Lambert W 函数，因为根据 Rouche 定理，上述函数是多项式。
你在公式zeta^c exp(a*b - a*b*zeta) - 1 = 0 上面写了。这不是一个多项式方程。如果您有不同的方程式，请正确书写。
抱歉回答晚了。根据 Rouch 定理，上述方程将被视为多项式方程。