如何测试线段是否与二维中的轴对齐矩形相交？答案

【问题标题】：How to test if a line segment intersects an axis-aligned rectange in 2D?如何测试线段是否与二维中的轴对齐矩形相交？
【发布时间】：2010-09-11 02:11:48
【问题描述】：

如何测试线段是否与二维中的轴对齐矩形相交？该段由其两端定义：p1，p2。矩形由左上角和右下角定义。

【问题讨论】：

标签： graphics geometry 2d

【解决方案1】：

这是@metamal 答案的 javascript 版本

var isRectangleIntersectedByLine = function (
  a_rectangleMinX,
  a_rectangleMinY,
  a_rectangleMaxX,
  a_rectangleMaxY,
  a_p1x,
  a_p1y,
  a_p2x,
  a_p2y) {

  // Find min and max X for the segment
  var minX = a_p1x
  var maxX = a_p2x

  if (a_p1x > a_p2x) {
    minX = a_p2x
    maxX = a_p1x
  }

  // Find the intersection of the segment's and rectangle's x-projections
  if (maxX > a_rectangleMaxX)
    maxX = a_rectangleMaxX

  if (minX < a_rectangleMinX)
    minX = a_rectangleMinX

  // If their projections do not intersect return false
  if (minX > maxX)
    return false

  // Find corresponding min and max Y for min and max X we found before
  var minY = a_p1y
  var maxY = a_p2y

  var dx = a_p2x - a_p1x

  if (Math.abs(dx) > 0.0000001) {
    var a = (a_p2y - a_p1y) / dx
    var b = a_p1y - a * a_p1x
    minY = a * minX + b
    maxY = a * maxX + b
  }

  if (minY > maxY) {
    var tmp = maxY
    maxY = minY
    minY = tmp
  }

  // Find the intersection of the segment's and rectangle's y-projections
  if(maxY > a_rectangleMaxY)
    maxY = a_rectangleMaxY

  if (minY < a_rectangleMinY)
    minY = a_rectangleMinY

  // If Y-projections do not intersect return false
  if(minY > maxY)
    return false

  return true
}

【讨论】：

【解决方案2】：

您还可以从该段中创建一个矩形并测试另一个矩形是否与它发生碰撞，因为这只是一系列比较。来自 pygame 来源：

def _rect_collide(a, b):
    return a.x + a.w > b.x and b.x + b.w > a.x and \
           a.y + a.h > b.y and b.y + b.h > a.y

【讨论】：

这太简单了，太急切了。它将收集误报，其中行的开头与 x 重叠但不与 y 重叠，并且行的结尾与 y 重叠但不与 x 重叠（反之亦然）。

【解决方案3】：

我的解决方案的一些示例代码（在 php 中）：

// returns 'true' on overlap checking against an array of similar objects in $this->packed
public function checkForOverlaps(BinPack_Polygon $nItem) {
  $nX = $nItem->getLeft();
  $nY = $nItem->getTop();
  $nW = $nItem->getWidth();
  $nH = $nItem->getHeight();
  // loop through the stored polygons checking for overlaps
  foreach($this->packed as $_i => $pI) {
    if(((($pI->getLeft() - $nW) < $nX) && ($nX < $pI->getRight())) && ((($pI->getTop() - $nH) < $nY) && ($nY < $pI->getBottom()))) {
      return true;
    }
  }
  return false;
}

【讨论】：

【解决方案4】：

PHP 中的编码示例（我正在使用一个对象模型，它具有诸如 getLeft()、getRight()、getTop()、getBottom() 之类的方法来获取多边形的外部坐标，并且还有一个 getWidth( ) 和 getHeight() - 根据输入的参数，它会计算并缓存未知数 - 即我可以创建一个带有 x1,y1 和 ... w,h 或 x2,y2 的多边形，它可以计算其他的）

我使用“n”来指定正在检查重叠的“新”项目（$nItem 是我的多边形对象的一个实例） - 要再次测试的项目 [这是一个 bin/sort 背包程序] 在由（相同）多边形对象的更多实例组成的数组。

public function checkForOverlaps(BinPack_Polygon $nItem) {
  // grab some local variables for the stuff re-used over and over in loop
  $nX = $nItem->getLeft();
  $nY = $nItem->getTop();
  $nW = $nItem->getWidth();
  $nH = $nItem->getHeight();
  // loop through the stored polygons checking for overlaps
  foreach($this->packed as $_i => $pI) {
    if(((($pI->getLeft()  - $nW) < $nX) && ($nX < $pI->getRight())) &&
       ((($pI->getTop()  - $nH) < $nY) && ($nY < $pI->getBottom()))) {
      return false;
    }
  }
  return true;
}

【讨论】：

【解决方案5】：

我正在研究一个类似的问题，这就是我想出的。我首先比较了边缘并意识到了一些事情。如果落在第一个框的相对轴内的边的中点在同一轴上第一个框的外部点的该边长度的一半之内，则该边在某处存在交点。但这是一维思考，需要查看第二个框的每一侧才能弄清楚。

我突然想到，如果你找到第二个盒子的“中点”并比较中点的坐标，看看它们是否落在外部尺寸的边（第二个盒子）的 1/2 长度内第一个，然后在某个地方有一个交叉点。

i.e. box 1 is bounded by x1,y1 to x2,y2
box 2 is bounded by a1,b1 to a2,b2

the width and height of box 2 is:
w2 = a2 - a1   (half of that is w2/2)
h2 = b2 - b1   (half of that is h2/2)
the midpoints of box 2 are:
am = a1 + w2/2
bm = b1 + h2/2

So now you just check if
(x1 - w2/2) < am < (x2 + w2/2) and (y1 - h2/2) < bm < (y2 + h2/2) 
then the two overlap somewhere.
If you want to check also for edges intersecting to count as 'overlap' then
 change the < to <=

当然，您也可以轻松地比较其他方式（检查框 1 的中点是否在框 2 外部尺寸的 1/2 长度内）

甚至更简单 - 将中点移动一半长度，它与该框的原点相同。这意味着您现在可以检查该点是否落在您的边界范围内，并通过将平原向上和向左移动，下角现在是第一个框的下角。更少的数学：

(x1 - w2) < a1 < x2
&&
(y1 - h2) < b1 < y2
[overlap exists]

或非替代：

( (x1-(a2-a1)) < a1 < x2 ) && ( (y1-(b2-b1)) < b1 < y2 ) [overlap exists]
( (x1-(a2-a1)) <= a1 <= x2 ) && ( (y1-(b2-b1)) <= b1 <= y2 ) [overlap or intersect exists]

【讨论】：

问题是关于直线-矩形交叉点，而不是矩形-矩形。

【解决方案6】：

或者只是使用/复制 Java 方法中已有的代码

java.awt.geom.Rectangle2D.intersectsLine(double x1, double y1, double x2, double y2)

为了方便，这里是转成静态后的方法：

/**
 * Code copied from {@link java.awt.geom.Rectangle2D#intersectsLine(double, double, double, double)}
 */
public class RectangleLineIntersectTest {
    private static final int OUT_LEFT = 1;
    private static final int OUT_TOP = 2;
    private static final int OUT_RIGHT = 4;
    private static final int OUT_BOTTOM = 8;

    private static int outcode(double pX, double pY, double rectX, double rectY, double rectWidth, double rectHeight) {
        int out = 0;
        if (rectWidth <= 0) {
            out |= OUT_LEFT | OUT_RIGHT;
        } else if (pX < rectX) {
            out |= OUT_LEFT;
        } else if (pX > rectX + rectWidth) {
            out |= OUT_RIGHT;
        }
        if (rectHeight <= 0) {
            out |= OUT_TOP | OUT_BOTTOM;
        } else if (pY < rectY) {
            out |= OUT_TOP;
        } else if (pY > rectY + rectHeight) {
            out |= OUT_BOTTOM;
        }
        return out;
    }

    public static boolean intersectsLine(double lineX1, double lineY1, double lineX2, double lineY2, double rectX, double rectY, double rectWidth, double rectHeight) {
        int out1, out2;
        if ((out2 = outcode(lineX2, lineY2, rectX, rectY, rectWidth, rectHeight)) == 0) {
            return true;
        }
        while ((out1 = outcode(lineX1, lineY1, rectX, rectY, rectWidth, rectHeight)) != 0) {
            if ((out1 & out2) != 0) {
                return false;
            }
            if ((out1 & (OUT_LEFT | OUT_RIGHT)) != 0) {
                double x = rectX;
                if ((out1 & OUT_RIGHT) != 0) {
                    x += rectWidth;
                }
                lineY1 = lineY1 + (x - lineX1) * (lineY2 - lineY1) / (lineX2 - lineX1);
                lineX1 = x;
            } else {
                double y = rectY;
                if ((out1 & OUT_BOTTOM) != 0) {
                    y += rectHeight;
                }
                lineX1 = lineX1 + (y - lineY1) * (lineX2 - lineX1) / (lineY2 - lineY1);
                lineY1 = y;
            }
        }
        return true;
    }
}

【讨论】：

【解决方案7】：

原海报想要检测线段和多边形之间的交点。没有必要找到交叉口，如果有的话。如果这就是你的意思，你可以做的工作比 Liang-Barsky 或 Cohen-Sutherland 少：

令线段端点为 p1=(x1 y1) 和 p2=(x2 y2)。
设矩形的角为 (xBL yBL) 和 (xTR yTR)。

那么你要做的就是

A.检查矩形的所有四个角是否都在直线的同一侧。通过 p1 和 p2 的直线的隐式方程为：

F(x y) = (y2-y1)*x + (x1-x2)*y + (x2*y1-x1*y2)

如果 F(x y) = 0，则 (x y) 在线。
如果 F(x y) > 0，则 (x y) 位于该线的“上方”。
如果 F(x y)

将所有四个角都代入 F(x y)。如果它们都是负面的或都是正面的，那么就没有交集。如果有些是正面的，有些是负面的，请转到步骤 B。

B.将端点投影到 x 轴上，并检查线段的阴影是否与多边形的阴影相交。在 y 轴上重复：

如果 (x1 > xTR 和 x2 > xTR)，则没有交点（直线在矩形的右侧）。
如果 (x1 如果（y1 > yTR 和 y2 > yTR），则没有交点（直线在矩形上方）。
如果（y1 否则，有一个交叉点。做 Cohen-Sutherland 或您问题的其他答案中提到的任何代码。

当然，你可以先做 B，然后做 A。

阿莱霍

【讨论】：

另一种快捷方式是按以下顺序遍历矩形：F(topleft),F(topright),F(bottomright),F(bottomleft) 然后检查是否有这些方程的符号与前一个不同，这意味着一个点在“下方”，下一个点在“上方”。
解释得很好，似乎可以处理段完全被框包围的情况。
我有 F(x, y)
为什么需要步骤 B？我想不出某些角位于线的不同侧并且线不与矩形相交的情况。
@jnovacho，我猜是因为它实际上不是一条线，而是一条带端点的线段。即使线段上的线与线段相交也可能不会。

【解决方案8】：

编写了非常简单且有效的解决方案：

      bool SegmentIntersectRectangle(double a_rectangleMinX,
                                 double a_rectangleMinY,
                                 double a_rectangleMaxX,
                                 double a_rectangleMaxY,
                                 double a_p1x,
                                 double a_p1y,
                                 double a_p2x,
                                 double a_p2y)
  {
    // Find min and max X for the segment

    double minX = a_p1x;
    double maxX = a_p2x;

    if(a_p1x > a_p2x)
    {
      minX = a_p2x;
      maxX = a_p1x;
    }

    // Find the intersection of the segment's and rectangle's x-projections

    if(maxX > a_rectangleMaxX)
    {
      maxX = a_rectangleMaxX;
    }

    if(minX < a_rectangleMinX)
    {
      minX = a_rectangleMinX;
    }

    if(minX > maxX) // If their projections do not intersect return false
    {
      return false;
    }

    // Find corresponding min and max Y for min and max X we found before

    double minY = a_p1y;
    double maxY = a_p2y;

    double dx = a_p2x - a_p1x;

    if(Math::Abs(dx) > 0.0000001)
    {
      double a = (a_p2y - a_p1y) / dx;
      double b = a_p1y - a * a_p1x;
      minY = a * minX + b;
      maxY = a * maxX + b;
    }

    if(minY > maxY)
    {
      double tmp = maxY;
      maxY = minY;
      minY = tmp;
    }

    // Find the intersection of the segment's and rectangle's y-projections

    if(maxY > a_rectangleMaxY)
    {
      maxY = a_rectangleMaxY;
    }

    if(minY < a_rectangleMinY)
    {
      minY = a_rectangleMinY;
    }

    if(minY > maxY) // If Y-projections do not intersect return false
    {
      return false;
    }

    return true;
  }

【讨论】：

点赞。我尝试了最佳答案，但我对将一个框放在从 100 50 到 100 100 的行顶部的测试失败了。
这真的很简单而且效果很好！我做了一个javascript测试：jsfiddle.net/77eej/2
顺便说一句，任何人都可以指出为什么abs(dx) > 0.0000001 而不是零？
因为浮点数学不准确。数学上应该相等的两个数字可能相差很小，导致相等比较失败。
在某些情况下不起作用，请尝试使用点为 [25,125] 和 [101,100] 的框 [0,0 100,100] 并查看它是否会返回 true。但该部分显然在外面。

【解决方案9】：

我做了一点餐巾纸解决方案..

接下来找到 m 和 c，从而得到等式 y = mx + c

y = (Point2.Y - Point1.Y) / (Point2.X - Point1.X)

代入 P1 坐标现在找到 c

现在对于一个矩形顶点，将X值代入直线方程，得到Y值，看看Y值是否在如下所示的矩形边界内

（您可以找到矩形的常数值 X1、X2、Y1、Y2 等）

X1 <= x <= X2 & 
Y1 <= y <= Y2

如果 Y 值满足上述条件并且位于 (Point1.Y, Point2.Y) 之间 - 我们有一个交集。如果这一个未能进行切割，请尝试每个顶点。

【讨论】：

【解决方案10】：

使用Cohen-Sutherland algorithm。

它用于剪辑，但可以针对此任务进行微调。它将 2D 空间划分为井字棋盘，矩形为“中心正方形”。
然后它会检查你的线的两个点中的每一个都在九个区域中的哪一个。

如果两个点都在左、右、上或下，您会轻易拒绝。
如果任何一个点在里面，你都可以接受。
在极少数情况下，您可以根据矩形所在的区域进行数学运算，以与矩形的任何可能相交的边相交。

【讨论】：

【解决方案11】：

由于您的矩形是对齐的，Liang-Barsky 可能是一个不错的解决方案。如果这里的速度很重要，它比 Cohen-Sutherland 快。

Siggraph explanation
Another good description
And of course, Wikipedia

【讨论】：

【解决方案12】：

快速的 Google 搜索会弹出一个页面，其中包含用于测试交叉点的 C++ 代码。

基本上它测试线条与每个边框或矩形之间的交点。

Rectangle and line intersection code

【讨论】：