给定无向的连通图，找到所有节点对（由一条边连接），其删除会使图断开连接。
没有平行边，也没有将节点连接到自身的边。
这个问题似乎类似于寻找一个连接的无向图的连接点（或桥）——但有一个转折点，我们必须删除由一条边连接的一对顶点（以及连接到该对的所有其他边） .
这是一道作业题。我一直在尝试解决它，阅读有关 DFS 和关节点算法（每个节点的 bookkeap 深度和低点）的信息 - 但这些方法都没有帮助解决这个特定问题。我已经检查了 Cormen 的 Intro to Algorithms，但没有任何主题适合自己（当然，这本书确实有 1500 页）。
虽然找到关节点确实也会（大多数时候）找到这样的一对，但有很多对不是关节点 - 考虑一个具有 4 个顶点、5 个边的图（正方形与单对角线）：它有一对这样的对，但没有关节点（也没有桥）。
我迷路了。帮帮我，堆栈溢出，你是我唯一的希望。
【问题讨论】：
标签： algorithm graph language-agnostic
根据@MkjG 的建议更新我之前的答案，使用 DFS 计算关节点。
设图为 G=(V,E) 且 V := {v_1, ..., v_n}_。对于 V 的每个子集 V'，让 G_V' 是包含节点 V\V' 的节点诱导子图。对于连接的 G，如果 G_{v} 未连接，我们将 V in V 称为关节点。令 N_v 为 v 在 G 中的邻居集合。
关节点可以通过 DFS 计算，请阅读here 了解有关该算法的更多信息。简而言之：
设图 G 上的 DFS 的结果是 V 中节点 v 上的函数 c。c(v) 是 N_v 的子集，如果满足以下两个条件，它在 c(v) 中保持 v' ：
注意，对于 T 的根节点 r，c(r) 是 r 的所有子节点的集合。函数 c 的计算时间为 O(n+m)。
按如下方式计算分隔符对：
# performs DFS on G for some root node r
c = DFS(G,r)
# computes articulation points of G and corresponding number of components
aps = {}
compCounts = {}
for each v in V:
numComps = |c(v)|
if v != r:
++numComps
if numComps > 1:
add v to aps
compCounts[v] = numComps
# computes the set of all separator pairs containing at least on ap
S = {}
for each v in aps:
numComps = compCounts[v]
for each v' in N_v:
if numComps > 2:
# G_{v,v'} has at least two connected components
add {v,v'} to S
else:
# if v' is an isolated node in G_{v}, then G_{v,v'} is connected
if N_v' != {v}:
add {v,v'} to S
# computes remaining separator pairs
for each v in V \ aps:
compute G_{v}
# performs DFS on G_{v} for some root r_v != v
c_v = DFS(G_{v},r_v)
# adds separator pairs for articulation points of G_{v} in N_v
for each v' in N_v:
numComps = |c(v')|
if v' != r_v:
++numComps
if numComps > 1:
add{v,v'} to S
运行时间为 O(n * (n+m))
【讨论】：
相当简单，也许不是最有效的：
设图为 G=(V,E) 且 V := {v_1, ..., v_n}。对于 V 的每个子集 V'，让 G_V' 是包含节点 V\V' 的节点诱导子图。进一步令 N>_v_i := {v_j in V : {v_i,v_j} in E and j > i} 是 G 中索引大于 i 的 v_i 的所有邻居的集合。最后，设 c(G) 为图的连通分量集。
按如下方式计算对：
pairs = {}
for each v in V:
compute G_{v}
if G_{v} is unconnected:
for each v' in N>_v:
# Ensures that removal of v' does not render subgraph connected
# (Note comment by MkjG)
if |c(G_{v})| > 2 or {v'} not in c(G_{v}):
add {v,v'} to pairs
else:
for each v' in N>_v:
compute G_{v,v'}
if G_{v,v'} unconnected:
add {v,v'} to pairs
可以在 O(m+n) 中通过 DFS 或 BFS 检查连接性。因此运行时间应该是 O(n * k * (m+n))，其中 k 是 G 的最大度数。
【讨论】：
断开图的一组 k 条边称为 k-cut。您正在尝试枚举图形的所有 2-cut。
This paper 描述了一种枚举图的所有切割的有效算法。应该可以对其进行调整以找到图形的所有 2-cut。
【讨论】：