从集合中挑选项目的算法

Question

我有一组集合S[i]，我需要从每个对应集合中挑选C[i] 项目。有些物品可能同时属于多个套装，不允许两次选择同一个物品。

这里有一个更好解释的例子：

Set #1 [b, c, d, e], pick 2
Set #2 [a, b, c], pick 2
Set #3 [w, x, y, z], pick 1
Set #4 [a, d, e], pick 1

其中一个解决方案是：

Set #1 [b, d]
Set #2 [a, c]
Set #3 [x]
Set #4 [e]

我不需要找到所有可能的解决方案，只要满足上述条件的任何一个即可。

我的问题是：除了暴力破解所有可能的组合直到我找到一个之外，还有更好的方法吗？显然，贪心算法不起作用（为 set #1 选择 [b, c] 将无法从 set #2 中选择 2 个项目）。是否存在其他选择？我的问题是否等同于某个众所周知的问题？

如果蛮力是唯一的选择，那么实施它以避免陷入死胡同的最佳方法是什么？例如。如果我选择：

Set #1 [b, e]
Set #2 [a, d]

尝试第 3 组的所有可能组合是没有用的，因为从第 4 组中选择任何组合已经不可能了。

Answer 1

这可以建模为二分体matching problem：左侧的节点是单个元素（a、b、c...），右侧的节点是要从中选择的集合，具有多个节点表示应该从多次中选择的每个集合。如果该元素是该集合的成员，则从一个元素（左侧）到一个集合（右侧）存在一条边。

然后目标是计算一个匹配（即一组独立的边），其中包括右侧的每个节点；这必然是最大基数匹配，因此您可以对maximum cardinality bipartite matching 使用任何算法。有几个在低次多项式时间内运行，因此这些将击败大输入的回溯搜索。 （从技术上讲，这将是pseudopolynomial，因为转换为二分图涉及复制应该从多次中选择的集合；但同样的问题可能会影响回溯搜索。）