找到满足谓词的所有可能子集答案

【问题标题】：find all possible subsets satisfying a predicate找到满足谓词的所有可能子集
【发布时间】：2021-03-30 06:58:05
【问题描述】：

我有一个由 N 个元素组成的集合 S。每个元素由一串长度为 L 的位表示。例如，当 L=5 时，S 可以由{ 01010, 01100, 10100, 00001 } 组成

如果一对元素没有任何共同位（即如果它们的按位与为零），则它们是兼容的。例如：

01010 与 01100 不兼容，因为01010 & 01100 = 01000（非零）
01010 与 10100 兼容，因为01010 & 01010 = 00000（零）

如果 S 的所有元素的成对按位与为零，则 S 的子集是兼容的。例如，子集{ 01010, 10100, 00001 } 是兼容的，因为以下所有陈述都是正确的

 01010 & 10100 = 0
 01010 & 00001 = 0
 10100 & 00001 = 0

我想找到 S 的所有可能兼容的子集。鉴于上述 S 的示例，这将是：

{ 01010 }
{ 01100 }
{ 10100 }
{ 00001 }
{ 01010, 10100 }
{ 01010, 00001 }
{ 01100, 00001 }
{ 10100, 00001 }
{ 01010, 10100, 00001 }

实现这一目标的最佳算法是什么？

这个问题可以用图来重新表述，其中 S 的每个元素都是一个节点，兼容的元素由边连接。在这种情况下，问题变成了找到所有可能的节点集完全连接（即每对节点之间是否存在直接边）。

【问题讨论】：

你想生成所有子集，还是简单地（没那么简单）对它们进行计数？
我要生成所有子集。
这与stackoverflow.com/questions/30893292/… 本质上是同一个问题（表述为位向量而不是集合，但算法相同）。
@rici，我不太明白你提到的问题。例如，它声明2个分区的交集是空集，然后作为例子，它使用{1,2,3}和{1,2}，它们显然没有空交集。但是，我投票赞成你对那个问题的回答，这与我自己提出的算法非常相似。
@fabio：我认为问题中的示例很难阅读，因为它们是一起运行的；我添加了一些可能会有所帮助的新行。当我这样做时，我注意到我在评论中留下了指向有效解决方案的链接；值得注意的是，五年后链接仍然很好：ideone.com/6vaXaN

标签： algorithm set graph-algorithm combinatorics

【解决方案1】：

你可以使用这种方法

定义L 组如下在i 组中，将所有具有位1 的节点放在i 等级中所以问题是从每个组中选择one 或none。显然每个组的元素不能超过one *如果某个节点有不止一位1，那么它会被重复计算，所以我们需要在最后除以1计数

所以结果计数如下： (Count(L_1)+1) * (Count(L_2)+1) *... * (Count(L_L)+1) / (countOfOne(element1) * ...* countOfOne(elementN)) 您应该忽略除法部分中的所有零 00..00 元素

【讨论】：

对不起，我不明白。您如何确保第 1 组的一个元素与第 2 组的一个元素正交？
例如，仅第一组的所有元素呢？另外，我不需要计算，我需要获取实际的集合。

【解决方案2】：

我解决了问题，分享解决方案可能会很有用。

首先我枚举集合中的元素。例如：

S = { 0: 01010, 1: 01100, 2: 10100, 3: 00001 }

现在任何子集都可以由索引集按升序定义。例如

{ 01010, 00001 } -> {0, 3}

我将 P 定义为一对(indices, bitmask)，其中位掩码是通过按位或子集中的所有元素获得的。例如：

{ 01010, 00001 } -> ({0, 3}, 01011}

我将解 G 描述为 P 的向量。我将其初始化为所有仅包含一个元素的子集，这些元素肯定是解的一部分。

G = [ {{0}, 01010}, {{1}, 01100}, {{2}, 10100}, {{3}, 00001} ]

n 元素的每个兼容子集必须从与 n-1 元素添加单个元素的兼容子集中获得。这表明了伪代码中的算法：

设firstSol(n) 是一个函数，返回 G 中大小为 n 的第一个解的索引设lastSol(n) 是一个函数，返回 G 中最后一个大小为 n 的解的索引设 N 为 S 的大小

int n = 1;
int s;
do
    s = nSolutions(G) 
    for (i = firstSol(n); i <= lastSol(n); ++i)
       {vec, mask} = G[n];
       for (j = vec[n-1] + 1; j < N; ++j)
          if (mask & S[j] == 0)
             append to G: {{vec, j}, mask | S[j}}
while (s < nSolutions(G))

一旦没有找到新的解决方案，算法就会停止。

【讨论】：