如何随图像的比例改变单应性？答案

【问题标题】：How to change the homography with the scale of the image?如何随图像的比例改变单应性？
【发布时间】：2014-01-09 11:47:13
【问题描述】：

我有两个平面图像 A 和 B 我已经使用特征点计算了这两个图像之间的单应性，我的问题是，如果 A 和 B 都放大到两倍大小，假设 A' 和 B'。单应性会怎样？谢谢你。

【问题讨论】：

【解决方案1】：

两个答案都错了！对不起！

有证据的正确答案是：

【讨论】：

应用单应性是非线性的。这个证明是不够的。假设您有比例尺 s1 和比例尺 s2 (s1
亲爱的@jns，如果你仔细阅读证明，你会注意到我没有改变任何图像（你提到的缩放和重新缩放），我只是导出了一个单应矩阵的公式第二张图不做任何假设，演示是一般性的。
嗯，您将 H' 定义为“反向缩放”（S^-1）、“应用单应性”（H），然后是“缩回”（S）。问题是对二维点应用单应性不是线性变换。

【解决方案2】：

我认为您可以修改单应性以获得正确的比例。假设对应用 x 和 y 表示，并且单应映射 x 到 y。如果我们考虑缩放点

我们可以尝试将 s 从涉及单应矩阵的变换中分解出来，如下所示：

其中大写 pi (Π) 表示透视变换（简单地将 3D 向量的 x 和 y 分量与其 z 分量相除）。当取消 s 时，我们将有必要的方程来应用不同尺度的单应性。这里 H_s 可以从前面的等式中读取为：

如果您在不同于“应用程序规模”（例如可视化）的规模上计算单应性，您应该只计算 H_s 其中 s 是相对从新比例（用prime 表示）到旧比例的因子。例如，如果可视化是计算量的两倍，则选择 s = 0.5。

【讨论】：

【解决方案3】：

嗯..我可能是错的，但我认为上面的两个答案都不正确。

正如维基百科解释的那样，单应矩阵 H 中的比例因子是

ScaleA = H[row = 0, column = 0] and ScaleB = H[row = 1, column = 1]

翻译（左、右、前、后）将是

H[row = 0, column = 2] and H[row = 1, column = 2]

单应性的其余元素是旋转和剪切分量。

【讨论】：

【解决方案4】：

单应性不会改变。只要两个图像都经过相同的线性缩放，它将是相同的。

单应性是 3D 空间中两个 2D 平面之间的映射。它结合了旋转和平移与相机矩阵。如果相机相对于对象的位置没有改变，那么从对象平面中的点到图像平面中的等效点的映射计算的单应性将是相同的（假设没有噪声），而不管选择的点如何。

【讨论】：

我不这么认为，单应性包括旋转和平移，我认为平移肯定是不同的。
@binzhang 我已经扩展了我的答案——也许我误解了你的问题。我假设图像是围绕它们的中心缩放的，所以翻译不会改变。
谢谢。现在假设单应性没有改变，比如 H = [a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33]，那么从图像 B 到图像 A 的点映射将是：
谢谢。现在假设单应性没有改变，比如 H = [a11, a12, a13, a21, a22, a23, a31, a32, a33]，然后将点从图像 a(xa,ya) 映射到图像 B(xb, yb) 将是：xb = (a11*xa+a12*ya+a13)/(a31*xa+a32*ya+a33)，如果两个图像都放大到两倍大小，则映射将为 (2xa,2ya) -->(2xb,2yb) 2xb = (a11*2xa+ a12*2ya + a13) / (a31*2xa + a32*2ya + a33)。与上面的(xa,ya)->(xb,yb)等式冲突
我想我也明白你的意思了。谢谢。