通过推导步骤数证明

Question

鉴于 G = {a, b, c, d}, {S, X, Y}, S, {S->XY, X->aXb, X->ab, Y->cYd, Y->cY, Y- >cd}}

证明|w|c-|w|d+|w|a≥|w|b

|w|a 是字符串中有多少个 'a。这是有道理的，'c' 将比 'd' 多（或相同数量），因为没有生产规则可以在不生成 c 的情况下生成 d，而在不使用 Y->cY 的情况下生成 'c'。我需要使用推导步骤数的归纳来正式证明这一点，并且整天都在尝试。任何帮助表示赞赏。

Answer 1

我们将使用这个语法

S -> XY
X -> aXb
X -> ab
Y -> cYd
Y -> cY
Y -> cd

并且显示语言的语法有|w|c - |w|d + |w|a ≥ |w|b。证明是对产生式X -> aXb、Y -> cYd 和Y -> cY 的应用数量进行归纳。

基本情况：只有一个字符串没有调用这些产生式，即abcd，它满足|w|c - |w|d + |w|a >= |w|b，因为1 - 1 + 1 >= 1。

归纳假设：假设该声明适用于使用上面给出的三个产生式之一（包括 k 应用程序）派生的所有字符串。

归纳步骤：我们表明该声明适用于由 k+1 应用程序派生的字符串。由于我们的每个产生式在 LHS 和 RHS 中都有相同类型和数量的非终结符，并且由于 RHS 在所有情况下也包含终端，因此在派生的语言中存在一个较短的字符串，这些产生式的应用至少少了一个。根据假设，较短的字符串具有|w|c - |w|d + |w|a >= |w|b。对于我们的字符串，分三种情况：

1. X -> aXb 是应用的 k+1st 产品。这会将 |w|a 和 |w|b 增加 1，我们已经确定了 |w|c - |w|d + |w|a + 1 >= |w|b + 1 iff |w|c - |w|d + |w|a >= |w|b。
2. Y -> cYd 是应用的k+1st 产品。这将 |w|c 和 |w|d 增加 1，我们有 |w|c + 1 - (|w|d + 1) + |w|a >= |w|b 持有 iff |w|c - |w|d + |w|a >= |w|b，我们已经确定了。
3. Y -> cY 是应用的k+1st 产品。这将 |w|c 增加 1，得到 |w|c + 1 - |w|d + |w|a >= |w|b，因为 |w|c + 1 - |w|d + |w|a > |w|c - |w|d + |w|a >= |w|b 是正确的。

在k+1st 产生式选择的三种可能情况中，k+1 产生式中派生的字符串保持该属性。通过归纳，该属性适用于这些产生式的所有应用程序n。