证明这种语言是否可判定和可识别

Question

如果 L1 和 L2 是语言，我们就有了新语言

INTERLACE(L1, L2) = {w1v1w2v2 . . . wnvn | w1w2 . . . wn ∈ L1, v1v2 . . . vn ∈ L2}.

例如，如果abc ∈ L1 和123 ∈ L2，那么a1b2c3 ∈ INTERLACE(L1, L2)

如何证明INTERLACE 是：

1. 可判定？
2. 可识别？

我知道如何表明这种语言是正常的。 对于可确定的，我不太确定..

这是我的想法：

要表明可判定语言类在INTERLACE操作下是封闭的，需要证明如果A和B是两种可判定语言，则有方法判断INTERLACE语言是否可判定。假设A、B 可判定语言和M1、M2 两个TM 分别决定。

我想我必须说如何构建识别语言的DFA？

Answer 1

L1 和 L2 decidable ==> INTERLACE(L1, L2) 可判定

来自Wikipedia的引用：

递归（也是可判定）语言的概念有两个等效的主要定义：
...
2. 递归语言是一种形式语言，其中存在图灵机，当出现任何有限输入字符串时，如果字符串在该语言中，则停止并接受，否则停止并拒绝。

使用这个定义：

• 如果L1 和L2 是可判定的，那么算法（或图灵机）M1 和M2 存在，因此：

  • M1 接受所有输入 w ∈ L1 并拒绝所有输入 w ∉ L1。
  • M2 接受所有输入 v ∈ L2 并拒绝所有输入 v ∉ L2。

• 现在让我们构造算法M，它接受所有输入x ∈ INTERLACE(L1, L2)并拒绝所有输入x ∉ INTERLACE(L1, L2)，如下所示：

  • 给定输入x1 x2 .. xn。
  • 如果n是奇数，拒绝输入，否则（n是偶数）：
  • 为输入 x1 x3 x5 .. xn-1 运行 M1。如果M1 拒绝此输入，则M 拒绝其输入并完成，否则（M1 接受其输入）：
  • 为输入 x2 x4 x6 .. xn 运行 M2。如果M2 拒绝此输入，则M 拒绝其输入，否则M 接受其输入。

可以很容易地证明M 是INTERLACE(L1, L2) 的决策算法，因此，该语言是可判定的。

L1 和 L2 recognizable ==> INTERLACE(L1, L2) 可识别

来自Wikipedia的引用：

递归可枚举（也可识别）语言有三种等效定义：
...
3. 递归可枚举语言是一种形式语言，其中存在图灵机（或其他可计算函数），当以该语言中的任何字符串作为输入时将停止并接受，但在出现时可能会停止并拒绝或永远循环不是该语言的字符串。将此与递归语言进行对比，后者要求图灵机在所有情况下都停止。

证明与“可判定”属性的证明非常相似。

• 如果L1和L2是可识别的，那么算法R1和R2存在，所以：

  • R1 接受所有输入 w ∈ L1 并拒绝或永远循环所有输入 w ∉ L1。
  • R2 接受所有输入 v ∈ L2 并拒绝或永远循环所有输入 v ∉ L2。

• 让我们构造算法R，它接受所有输入x ∈ INTERLACE(L1, L2) 并拒绝或永远循环所有输入x ∉ INTERLACE(L1, L2)：

  • 给定输入x1 x2 .. xn。
  • 如果n是奇数，拒绝输入，否则（n是偶数）：
  • 为输入 x1 x3 x5 .. xn-1 运行 R1。如果R1 永远循环，那么R 也会永远循环（“自动”）。如果R1 拒绝这个输入，那么R 拒绝它的输入并结束，否则（如果R1 接受它的输入）：
  • 为输入 x2 x4 x6 .. xn 运行 R2。如果R2 永远循环，那么R 也会永远循环。如果R2 拒绝此输入，则R 拒绝其输入，否则R 接受其输入。

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附：实际上，你就快到了；)