动态编程 - 棒材切割，同时密切关注切割的索引

Question

在经典的切杆动态规划问题中 - 我在哪里切割长度为 n 的杆以最大化我通过出售整个杆或其中的部分获得的价格。另请参阅此处的问题陈述以获取详细信息 -Understanding the bottom-up rod cut implementation

我如何保留索引标签 - 即我在原始杆的哪个位置进行切割？ 我似乎对知道如何保持杆最终被切割的索引没有一个公平的理解。 这是我的代码-：

# price is dict of revenue we get for the corresponding rod-length
price={1:1,2:5,3:8,4:9,5:10,6:17,7:17,8:20,9:24,10:30}

def cut_rod(n,price):
    if n==0:
        return 0
    revenue=-999
    for i in range(1,n+1): 
  ##I do this, since my price[1] ie the keys to the price dictionary start from 1...n
        revenue=max(revenue,price[i]+cut_rod(n-i,price))
    return revenue

n=4 # print the maximum revenue we earn for rod of length 4
revenue=cut_rod(n,price)
print "revenue for rod of length %d is %d" %(n,revenue)

对于长度为 4 的杆，我在 2 和 2 上进行切割（即中间） - 我们如何记住这些索引？

编辑：我有一个大概的想法，我需要记录到目前为止看到的所有收入，以及相应的剪辑位置——但我似乎在主要通话中迷路了——我是否应该在后续通话之间存储它在 dict 结构中，稍后再查找。 我还认为索引将是一个带有“列表”作为值的字典（用于稍后查找），因为对于杆长度的某些组合 - 我们可能会切割不止一次。

+1 表示直观的解释，如果您要回答的话。

Answer 1

所以我稍微修改了你的代码来做两件事：

1) 返回找到最大 val 的“索引”或削减。

2) 将先前计算的结果存储在字典中

import copy
price={1:1,2:5,3:8,4:9,5:10,6:17,7:17,8:20,9:24,10:30}
max_price = {}

def cut_rod(n,price):
    if n==0:
        #We are returning 0 and the empty list for a rod of size 0 as we don't cut
        #This is our base case
        return 0,[]
    revenue=-999
    #If we have already calculated the max price for the length, return price and indicies
    if n in max_price.keys():
        return max_price[n][0],copy.copy(max_price[n][1])
    cuts = []
    for i in range(1,n+1): 
            #Get the revenue and indicies from the smaller piece
        smaller_revenue,smaller_cuts =  cut_rod(n-i,price)
            #If we get a better price, set the indicies and revenue for the length
        if smaller_revenue + price[i] > revenue:
            smaller_cuts.append(i)
            cuts = smaller_cuts
            revenue = smaller_revenue + price[i]
    #store the calculated max results for rod of length n
    #need to copy to avoid linking
    max_price[n] = (revenue,copy.copy(cuts))
    return revenue, cuts

所以我们所做的就是使用 DP 来记住我们为尺寸 n 切割的最高价格。我们必须 copy.copy() 来消除意外修改我们“永久”创建的列表。

例如，

如果我们打电话给cut_rod(1,price)

它最终会调用cut_rod(0,price)

这将返回0 and []

我们的收入将是-999，所以price[1] + 0 will be > -999

1 的削减将是 [1]。

尽情奔跑

n = 10
revenue,cuts = cut_rod(n,price)print "revenue for rod of length %d is %d" %(n,revenue)
print "Cuts were sizes:"
print cuts
print max_price

查看子棒的长度和完整的字典。

输出：

revenue for rod of length 10 is 30

Cuts were sizes:
[10]
#key = rod length, value = (revenue, [where cuts were made])
{1: (1, [1]), 2: (5, [2]), 3: (8, [3]), 4: (10, [2, 2]), 5: (13, [3, 2]), 6: (17, [6]), 7: (18, [6, 1]), 8: (22, [6, 2]), 9: (25, [6, 3]), 10: (30, [10])}