PyMC3 贝叶斯线性回归预测与 sklearn.datasets

Question

我一直在尝试使用 PyMC3 和来自 @ 中的数据集的 REAL DATA（即不是来自线性函数 + 高斯噪声）来实现 贝叶斯线性回归模型987654326@。我选择了形状为(442, 10)的属性数量最少的回归数据集（即load_diabetes()）；即442 samples 和10 attributes。

我相信我的模型工作正常，后验结果看起来足够好，可以尝试预测以弄清楚这些东西是如何工作的，但是......我意识到我不知道如何使用这些贝叶斯模型进行预测！我试图避免使用glm 和patsy 表示法，因为我很难理解使用它时实际发生了什么。

我尝试了以下操作： Generating predictions from inferred parameters in pymc3 还有http://pymc-devs.github.io/pymc3/posterior_predictive/，但我的模型要么在预测方面非常糟糕，要么我做错了。

如果我确实正确地进行了预测（我可能不是），那么任何人都可以帮助我优化我的模型。我不知道至少mean squared error、absolute error 或类似的东西是否适用于贝叶斯框架。理想情况下，我想得到一个 number_of_rows 数组 = 我的 X_te 属性/数据测试集中的行数，以及作为后验分布样本的列数。

import pymc3 as pm
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
import seaborn as sns; sns.set()
from scipy import stats, optimize
from sklearn.datasets import load_diabetes
from sklearn.cross_validation import train_test_split
from theano import shared

np.random.seed(9)

%matplotlib inline

#Load the Data
diabetes_data = load_diabetes()
X, y_ = diabetes_data.data, diabetes_data.target

#Split Data
X_tr, X_te, y_tr, y_te = train_test_split(X,y_,test_size=0.25, random_state=0)

#Shapes
X.shape, y_.shape, X_tr.shape, X_te.shape
#((442, 10), (442,), (331, 10), (111, 10))

#Preprocess data for Modeling
shA_X = shared(X_tr)

#Generate Model
linear_model = pm.Model()

with linear_model: 
    # Priors for unknown model parameters    
    alpha = pm.Normal("alpha", mu=0,sd=10)
    betas = pm.Normal("betas", mu=0,#X_tr.mean(), 
                               sd=10, 
                               shape=X.shape[1])
    sigma = pm.HalfNormal("sigma", sd=1)

    # Expected value of outcome
    mu = alpha + np.array([betas[j]*shA_X[:,j] for j in range(X.shape[1])]).sum()

    # Likelihood (sampling distribution of observations)
    likelihood = pm.Normal("likelihood", mu=mu, sd=sigma, observed=y_tr)

    # Obtain starting values via Maximum A Posteriori Estimate
    map_estimate = pm.find_MAP(model=linear_model, fmin=optimize.fmin_powell)

    # Instantiate Sampler
    step = pm.NUTS(scaling=map_estimate)

    # MCMC
    trace = pm.sample(1000, step, start=map_estimate, progressbar=True, njobs=1)


#Traceplot
pm.traceplot(trace)

# Prediction
shA_X.set_value(X_te)
ppc = pm.sample_ppc(trace, model=linear_model, samples=1000)

#What's the shape of this? 
list(ppc.items())[0][1].shape #(1000, 111) it looks like 1000 posterior samples for the 111 test samples (X_te) I gave it

#Looks like I need to transpose it to get `X_te` samples on rows and posterior distribution samples on cols

for idx in [0,1,2,3,4,5]:
    predicted_yi = list(ppc.items())[0][1].T[idx].mean()
    actual_yi = y_te[idx]
    print(predicted_yi, actual_yi)
# 158.646772735 321.0
# 160.054730647 215.0
# 149.457889418 127.0
# 139.875149489 64.0
# 146.75090354 175.0
# 156.124314452 275.0 

Answer 1

我认为您的模型的问题之一是您的数据具有非常不同的比例，您的“Xs”范围约为 0.3，“Ys”范围约为 300。因此，您应该期望您的先验指定的斜率（和 sigma）更大。一个合乎逻辑的选择是调整您的先验，如下例所示。

#Generate Model
linear_model = pm.Model()

with linear_model: 
    # Priors for unknown model parameters    
    alpha = pm.Normal("alpha", mu=y_tr.mean(),sd=10)
    betas = pm.Normal("betas", mu=0, sd=1000, shape=X.shape[1])
    sigma = pm.HalfNormal("sigma", sd=100) # you could also try with a HalfCauchy that has longer/fatter tails
    mu = alpha + pm.dot(betas, X_tr.T)
    likelihood = pm.Normal("likelihood", mu=mu, sd=sigma, observed=y_tr)
    step = pm.NUTS()
    trace = pm.sample(1000, step)

chain = trace[100:]
pm.traceplot(chain);

后验预测检查表明您有一个或多或少合理的模型。

sns.kdeplot(y_tr, alpha=0.5, lw=4, c='b')
for i in range(100):
    sns.kdeplot(ppc['likelihood'][i], alpha=0.1, c='g')

另一种选择是通过标准化将数据置于相同的比例，这样做你会得到斜率应该在 +-1 左右，通常你可以对任何数据使用相同的扩散先验（有用的东西，除非你有可以使用的信息先验）。事实上，很多人都推荐这种做法用于广义线性模型。您可以在本书doing bayesian data analysis 或Statistical Rethinking 中阅读更多相关信息

如果您想预测值，您有多种选择，一种是使用推断参数的平均值，例如：

alpha_pred = chain['alpha'].mean()
betas_pred = chain['betas'].mean(axis=0)

y_pred = alpha_pred + np.dot(betas_pred, X_tr.T)

另一种选择是使用pm.sample_ppc 来获取预测值的样本，这些预测值会考虑到您估计中的不确定性。

执行 PPC 的主要思想是将预测值与您的数据进行比较，以检查它们在哪里一致，哪里不一致。例如，此信息可用于改进模型。正在做

pm.sample_ppc(trace, model=linear_model, samples=100)

将为您提供 100 个样本，每个样本具有 331 个预测观察值（因为在您的示例中，y_tr 的长度为 331）。因此，您可以将每个预测数据点与取自后验的大小为 100 的样本进行比较。您会得到预测值的分布，因为后验本身就是可能参数的分布（分布反映了不确定性）。 关于sample_ppc 的参数：samples 指定从后验得到多少个点，每个点都是参数向量。 size 指定使用该参数向量对预测值进行采样的次数（默认为 size=1）。

您在这个tutorial 中有更多使用sample_ppc 的示例

Answer 2

标准化 (X - u) / σ，您的自变量也可能工作得很好，因为您的 beta 方差对于所有变量都是一致的，但它们的尺度不同。

另一点可能是，如果您使用pm.math.dot，考虑到 f(x) = intercept + Xβ + ε，计算矩阵向量积可能会更有效。