如何确定完整二叉树中给定子树中叶子的索引？

Question

我有一个数组表示法的完整二叉树（宽度优先）：

[15, 10, 5, 3, 7, 5, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 0, 0, 0]

所以所有叶子的索引是：7、8、9、10、11、12、13、14。

对于每个内部节点，我需要返回其子树中叶子的索引：

• 节点 15： 7、8、9、10、11、12、13、14
• 节点 10： 7、8、9、10
• 节点 5： 11、12、13、14
• 节点 3： 7、8
• 节点 7： 9、10
• 节点 5： 11、12
• 节点 0： 13、14。

是否存在任何公式？

Answer 1

由于数组表示一棵完美的二叉树，即所有内部节点都有 2 个子节点，并且所有叶子都位于相同的深度，因此数组长度将始终是 2 的幂减 1。在示例中它是 2⁴-1。那个力量就是树的层数……比树的高度多一。我们称高度为ℎ，那么输入数组的大小为2^ℎ+1-1。

我们可以使用 position 数字的二进制表示。位置我的意思是 index 加 1。所以根的位置是 1，它的子节点的位置是 2 和 3。使用 ℎ+1 二进制数字以二进制表示形式表示每个位置。因此，对于示例输入，您将使用 4 位数字。要知道给定位置以下叶子的位置范围，请查看位置编号中有多少个前导零。

例如，取位置 3（示例树的值为 5），即 0011 二进制 4 位数。它有 2 个前导零。

现在删除那些前导零。例如，我们得到二进制 11。

现在完成这些数字在右边与任何数字再次有4个数字。这表示叶子的位置范围。在示例中：1100 到 1111。然后您可以将其转回十进制并减去 1 以获得索引：11,12,13,14。

这是一个表格，用于对示例中的所有内部节点进行此计算：

Index	Value	Position	Position (binary)	Shift	Range	In decimal	Indices
0	15	1	0001	1***	1000-1111	8-15	7-14
1	10	2	0010	10**	1000-1011	8-11	7-10
2	5	3	0011	11**	1100-1111	12-15	11-14
3	3	4	0100	100*	1000-1001	8,9	7,8
4	7	5	0101	101*	1010-1011	10,11	9,10
5	5	6	0110	110*	1100-1101	12,13	11,12
6	0	7	0111	111*	1110-1111	14,15	13,14