假设我想将一个数字分成多个。
a /= x;
b /= x;
c /= x;
...
由于乘法更快，所以很容易这样做
tmp = 1.0f / x;
a *= tmp;
b *= tmp;
c *= tmp;
...
1) 这能保证产生相同的答案吗？我怀疑不是，但一些确认会很好。
2) 如果x 非常大或非常小，我预计这可能会导致准确性显着下降。有没有一个公式可以告诉我我会牺牲多少准确度？
3) 也许没有方便的公式，但我们至少可以说明一个经验法则，说明数值不稳定性何时会成为问题？是与操作数的大小有关，还是与操作数的大小之间的差异有关？
【问题讨论】：
标签： c floating-point numeric ieee-754
1) 不，不能保证产生相同的答案。即使使用 IEEE，通过使用 a/x 或 a*(1/x)，细微的舍入效果也可能导致 1 或 2 ULP。
2) 如果x 非常小（即比DBL_MIN（最小归一化正浮点数）小一点，如在次法线的情况下），则1/x 的总数为INF精度损失。当 FP 模型不支持次法线时，x 非常大时也会出现潜在的显着精度损失。
通过针对最大的有限数<= 1/DBL_MIN 和最小的非零数>= 1/DBL_MAX 测试|x|，代码可以确定何时开始出现严重的准确性损失。公式可能取决于使用的 FP 模型和x 的指数以及模型的限制。在这个binary64 的范围内，x 和Emin（或Emax）的二进制指数之差将是丢失比特的一阶估计值。
3) 在上述范围内会出现明显的数值不稳定性。
【讨论】：
double 数字的范围，让我们假设x > 0.0。 通常最大有限值DBL_MAX 和DBL_MIN（最小归一化正浮点数）适当地相互取反。由于它们可能很容易不是彼此的精确数学逆，因此其中一个或另一个将具有可表示的逆，而另一个则没有。这就是问题的开始。
DBL_MAX 和 DBL_TRUE_MIN（最小正浮点数），而这 2 的倒数揭示了问题的另一个位置继续 - 通常在范围的高端。
以下是一些带有支持链接的想法：
1) - 产生相同的结果？没有保证。对可变性的贡献太多，从 uP 设计（还记得 486 DX 数学协处理器的 math co-processor design error 吗？）到编译器实现，再到float 存储在硬件内存中。 (Good discussion on that here.)
2) - 公式？我不知道一个。而且，重大错误是什么意思？在任何情况下，您都可以通过以下方式确定您将看到的精度：
- 了解 various implementations 浮点数（链接比较 2）
- 使用什么变量类型（
float、double、long double）。 (differences)- 您在构建什么架构 32 位还是 64 位，其他？
关于浮点错误的讨论很多。 Here is one
3)没有真正的经验法则（如果经验法则你的意思是容易请记住，易于应用，易于理解）但是，这里是 a good attempt 回答有关浮点错误的问题
【讨论】：
当您使用 ieee-754 数字时，我会说您的方法是完全可以接受的。在ieee-754中x大致是
尾数 * 2 指数
其中尾数是 1/2 和 1 之间的数字。
所以只要你只做乘除法，你当然会有精度损失，但这种损失与x(*)的大小无关，只与浮点类型的精度有关已使用（单精度、四精度的双精度，这意味着 float、double 或 long double，具体取决于编译器和架构）。
(*) 仅当您不会出现下溢溢出时才是正确的，即单精度约为 1038，双精度约为 10300。
参考：维基百科上的页面 Floating point 和 IEEE floating point
【讨论】：
我的 50 美分：
1) 不，在 3 中进一步解释。
2）我不知道任何公式，所以我将跳过这个。
3) 我知道的经验法则是尽量只在数量级接近的操作数之间执行操作。
实际示例：
您想将数字 63.000.000 除以 1.000.000。
使用第一种方法，您最终会将 63*10^6 划分为 1*10^6，它们的数量级非常接近。
但是，如果您要使用第二种方法，那么
temp = 1.0f / x;
将产生 10^(-6)。
现在，乘以 63*10^6 * 10^(-6) 将导致显着的精度损失，因为两者之间的量级差异很大。 CPU会尝试用10^6数的指数+小数表示来表示10^(-6)数...
一个可行的替代方案是将 temp 设为
temp = 1 / 1.000;
然后
a = a * temp * temp ;
因为量级越接近，精度损失的可能性就越小。
【讨论】：