有人对评估超几何函数的算法有经验吗？我会对一般参考资料感兴趣，但我会描述我的特殊问题，以防有人处理过。
我的具体问题是评估 3F2(a, b, 1; c, d; 1) 形式的函数，其中 a、b、c 和 d 都是正实数并且 c+d > a+b+1 .有很多特殊情况都有封闭式公式，但据我所知，一般没有这样的公式。以零为中心的幂级数收敛于 1，但非常缓慢；连续系数的比率在极限内变为 1。也许像 Aitken 加速之类的东西会有所帮助？
【问题讨论】：
我测试了 Aitken 加速，但它似乎对解决这个问题没有帮助（Richardson 推断也没有）。这可能意味着 Pade 近似也不起作用。不过我可能做错了什么，所以一定要自己尝试一下。
我可以想到两种方法。
一种方法是在 z = 0.5 等某个点对序列进行评估，在该点快速收敛以获得初始值，然后通过将 hypergeometric differential equation 插入 ODE 求解器，向前推进到 z = 1。我不知道这在实践中效果如何；它可能不是，因为 z = 1 是一个奇点（如果我没记错的话）。
二是用Meijer G-function来定义3F2。定义 Meijer G 函数的轮廓积分可以通过对轮廓段应用高斯或双指数求积来进行数值计算。这不是非常有效，但它应该可以工作，并且应该可以扩展到相对较高的精度。
【讨论】：
你想对一个序列求和，你知道连续项的比率并且它是一个有理函数，这是否正确？
我认为Gosper's algorithm 和其他用于证明hypergeometric identities（并找到它们）的工具正是这样做的，对吧？ （参见 Wilf 和 Zielberger 的 A=B book online.）
【讨论】：