Numpy 求解没有循环的 3d 线性方程

Question

我想求解线性方程 Ax=b，每个 A 都包含在 3d 矩阵中。例如，

在 Ax = B 中， 假设 A.shape 是 (2,3,3)

即= [[[1,2,3],[1,2,3],[1,2,3]] [[1,2,3],[1,2,3],[1,2,3 ]]]

和 B.shape 是 (3,1) 即 [1,2,3]^T

我想知道 Ax = B 的每个 3 向量 x 即（x_1，x_2，x_3）。

想到的是将 B 与 np.ones(2,3) 相乘，并将函数 dot 与每个 A 元素的倒数一起使用。但它需要循环来执行此操作。（当矩阵大小变高时会消耗大量时间）（例如 A[:][:] = [1,2,3]） 如何在没有循环的情况下求解多个 Ax = B 方程？

• 我使 A 和 B 的元素相同，但您可能知道，这只是示例。

Answer 1

对于可逆矩阵，我们可以在3D 数组A 上使用np.linalg.inv，然后将张量矩阵乘法与B 一起使用，这样我们就可以分别丢失这两个数组的最后一个轴和第一个轴，就像这样-

np.tensordot( np.linalg.inv(A), B, axes=((-1),(0)))

示例运行 -

In [150]: A
Out[150]: 
array([[[ 0.70454189,  0.17544101,  0.24642533],
        [ 0.66660371,  0.54608536,  0.37250876],
        [ 0.18187631,  0.91397945,  0.55685133]],

       [[ 0.81022308,  0.07672197,  0.7427768 ],
        [ 0.08990586,  0.93887203,  0.01665071],
        [ 0.55230314,  0.54835133,  0.30756205]]])

In [151]: B = np.array([[1],[2],[3]])

In [152]: np.linalg.solve(A[0], B)
Out[152]: 
array([[ 0.23594665],
       [ 2.07332454],
       [ 1.90735086]])

In [153]: np.linalg.solve(A[1], B)
Out[153]: 
array([[ 8.43831557],
       [ 1.46421396],
       [-8.00947932]])

In [154]: np.tensordot( np.linalg.inv(A), B, axes=((-1),(0)))
Out[154]: 
array([[[ 0.23594665],
        [ 2.07332454],
        [ 1.90735086]],

       [[ 8.43831557],
        [ 1.46421396],
        [-8.00947932]]])

或者，张量矩阵乘法可以替换为np.matmul，就像这样 -

np.matmul(np.linalg.inv(A), B)

在 Python 3.x 上，我们可以使用 @ operator 来实现相同的功能 -

np.linalg.inv(A) @ B