一维生命游戏的非迭代算法

Question

考虑一个布尔数组a[n]，其中每个元素都是一个单元格。如果一个且只有一个相邻的单元格还活着，则一个单元格在下一代中变得活跃（设置为true），否则它变成死的（设置为false）。第一个和最后一个单元格被认为是邻居。

给定a[n]、数组大小n和一个正整数t，我希望在第t代进化后计算a[n]，但不对t使用任何迭代算法，这可能非常大。

我所观察到的：如果我们将S_k(a[n]) 定义为a[n] 向右移动k 元素的循环移位。也就是说，如果0 <= k < n，则a[0] 在一个班次后变为a[k]。将a[n] ^ b[n] 定义为两个布尔数组之间的逐元素异或运算。如果w[n]是一个布尔数组，则下一代可以表示为

r(w[n]) = S_{-1}(w[n]) ^ S_1(w[n])

xor 运算符^ 是关联和交换的。使用这个属性，接下来的几代w[n]可以通过

r^2(w[n]) = ( S_{-2}(w[n]) ^ S_0(w[n]) ) ^ ( S_0(w[n]) ^ S_2(w[n]) )
          = S_{-2}(w[n]) ^ S_2(w[n])

如果我们让s_j = S_{-j}(w[n]) ^ S_j(w[n])，有一个模式

r(w[n]) = s_1
r^2(w[n]) = s_2
r^3(w[n]) = s_3 ^ s_1
r^4(w[n]) = s_4
...
r(s_m) = s_{m-1} ^ s_{m+1}

此外，s_n = 0（零数组）因为完整的循环移位是原始数组。如何使用它来导出r^t(w[n]) 的非迭代表达式？

编辑：模式是

[1]
[2]
[1,3]
[4]
[3,5]
[2,6]
[1,3,5,7]
[8]

Answer 1

据我所知，没有像here 所说的那样解决这个游戏的非迭代方法。甚至 'Hashlife' 算法也是迭代的，但有很多辅助记忆。

但是您可以使用一些方法来选择简单的迭代算法：

• 使用位而不是整数数组：这种方式在某些情况下可以节省大量内存并加快速度。
• 存储比特的世代：您可以轻松地比较不同世代的比特，以找出世代之间是否存在一些重复模式，在这种情况下，不再需要更多计算。考虑到你只有一个维度，机会可能非常高。

Answer 2

我认为你需要发现更多的模式......

是不是这样继续下去：

1
 2 
1 3
   4
  3 5
 2   6
1 3 5 7
       8
      7 9
     6   a
    5     b
   4       c
  3   ???   d
 2           e
1 3 5 7 9 b d f
               g

如果是这样，最简单的方法似乎是计算 r 以获得最接近的两个

Answer 3

让我们将您的输入表示为列向量a_0，大小为n，包含Z/2Z 的元素。

您可以使用矩阵乘法计算下一代向量a_1：

a_1 = M.a_0 = |0 1 0 0 ... 0 0 0|  |a_01|
              |1 0 1 0 ... 0 0 0|  |a_02|
              |0 1 0 1 ... 0 0 0|  |a_03|
              ....
              |0 0 0 0 ... 0 1 0|  |... |
              |0 0 0 0 ... 1 0 1|  |... |
              |0 0 0 0 ... 0 1 0|  |a_0n|

鉴于此递归关系，您可以使用以下公式计算时间 t 的生成：

a_t = M^t . a_0

您可以使用重复平方轻松计算O(n^3.log(t)) 中的M^t。