停止问题是否有“足够好”的解决方案？答案

【问题标题】：Is there a "good enough" solution for the halting problem?停止问题是否有“足够好”的解决方案？
【发布时间】：2011-01-28 20:02:15
【问题描述】：

众所周知，停止问题没有明确的解决方案，即 a) 返回 true 程序确实停止了，并且 b) 处理任何输入，但我想知道是否有足够好的解决方案问题，可能可以完美处理某些类型的程序流程，或者能够识别何时无法正确解决问题，或者正确率很高，等等。 ...

如果是这样，它们有多好，它们依赖于哪些想法/限制？

【问题讨论】：

与实际问题相比，停机问题与其说是一个实际问题，不如说是一个证明可计算性极限的实验？
不，这是一个非常有用的问题。以下是暂停问题可以回答的一些现实问题：我的程序是处于无限循环中，还是即将结束？这个 C++ 程序会编译吗？我的 PostScript 文档有多少页？
除了停机问题一般无法解决。您正在谈论具有特定输入的特定程序，因此可以确定它们是否会停止。
派对迟到了，但现在应该在Computer Science
@MikeW 很可能，但我们不会迁移超过 30 天的帖子。（事实上，在这种情况下没有接口可以这样做）。

标签： halting-problem

【解决方案1】：

通常的方法是将程序行为限制为effectively calculable 算法。例如，simply typed lambda calculus 可用于确定算法总是停止。这意味着简单类型的 lambda 演算不是图灵完备的，但它仍然足够强大，可以表示许多有趣的算法。

【讨论】：

termination analysis 的其他方法有时可以决定程序是否会停止，例如 Walther recursion。

【解决方案2】：

可以完美处理某些类型的程序流的那些

这很容易，而且你的“某些类型”越窄越容易。原始示例：判断以下代码是否终止，对于x 的任意起始值：

void run(int x)
{
    while(x != 0)
    {
        x = x > 0 ? x-2 : x+2;
    }
}

解决方案比代码本身要短。

或能够识别何时无法正确解决问题

再简单一点：以上面的程序为例，当程序不符合固定的窄模式时，让它回复“否”。

或者正确率很高的那个

您如何定义无限组可能输入的“高”百分比？

【讨论】：

OP 的问题实际上对于非平凡的程序来说变得很有趣。

【解决方案3】：

证明循环停止的一种方法是识别一些整数变量（不一定在程序中明确显示），每次执行循环时该变量总是减小，并且一旦该变量小于零，循环将终止。我们可以将此变量称为循环变体。

考虑以下小sn-p：

var x := 20;
while (x >= 0) {
    x := x - 1
}

在这里，我们可以看到每次执行循环时 x 都会减小，并且一旦 x

更复杂的例子呢？考虑一个有限的整数列表，L = [L[0], L[1], ..., L[n]]。如果 x 是 L 的成员，in(L, x) 为真。现在考虑以下程序：

var x := 0;
while (in(L, x)) {
    x := x + 1
}

这将搜索自然数 (0, 1, 2, ...)，并在找到不在 L 中的 x 值时停止。那么，我们如何证明它终止了？ L 中必须有一个最大值——称之为 max(L)。然后我们可以将我们的变体定义为max(L) - x。为了证明终止，我们首先必须证明max(L) - x 总是在减少——不是太难，因为我们可以证明 x 总是在增加。然后我们要证明循环将在max(L) - x < 0 时终止。如果max(L) - x < 0，则max(L) < x，这意味着x不可能在L中，因此循环将终止。

【讨论】：

【解决方案4】：

【讨论】：

【解决方案5】：

有时机器是否会停止是显而易见的，即使它非常大。一旦您确定了一种模式，例如“倒计时”变量的存在，您就可以编写一个小型机器，该机器适用于任何拥有它的机器。那是一个无限大的家庭，但在所有可能的机器中微不足道。大多数人工编写的机器在它们的大小上都有非常简单的行为，所以如果其中很多可以在实际时间/空间内解决，我不会感到太惊讶，但我不知道如何衡量。

为了让您了解“他们有多好”这个问题有多难，这里有一个非常具有理论意义的问题：对于给定的尺寸 N，有多少台尺寸为 N 的机器停机？这是不可计算的（因为可以计算它的机器可以用来解决停机问题）并且对于 N>4 是未知的。

【讨论】：

【解决方案6】：

是的，只需使状态空间有限，并且（理论上）所有输入都可能。（简单地遍历所有可能性。）

所以理论上任何程序都可以在真实计算机上运行。 （您可能必须使用比执行程序的 RAM 更大的计算机来进行分析。当然，分析会花费非常长的时间。） p>

也许你想要一些更实用的东西。在这种情况下，请考虑语言。尽管您可以提供无限多的程序作为输入，但可以很快确定语法正确/不正确的问题（取决于语言的种类和输入长度）。（注意：我们不是在讨论执行输入程序，只是确定它在语法上是否正确。）

【讨论】：