最长公共前缀属性答案

【问题标题】：Longest Common Prefix property最长公共前缀属性
【发布时间】：2013-04-14 06:00:48
【问题描述】：

我正在研究后缀数组及其用于计算两个后缀的最长公共前缀。

消息来源说：

"两个后缀之间的 lcp 是数组上它们之间的所有相邻后缀对中 lcp 的最小值"

即lcp(x,y)=min{ lcp(x,x+1),lcp(x+1,x+2),.....,lcp(y-1,y) } 其中 x 和 y 是字符串的两个索引，从字符串的两个后缀开始。

我不相信字符串 "abca" 示例中的陈述。

lcp(1,4)=1（考虑基于 1 的索引）

但是如果我应用上面的等式，那么

lcp(1,4)=min{lcp(1,2),lcp(2,3),lcp(3,4)}

我认为lcp(1,2)=0。

所以根据等式，答案必须是0。

我是不是哪里弄错了？

【问题讨论】：

标签： string algorithm

【解决方案1】：

我认为源引用的索引不是字符串本身的索引，而是排序后缀的索引。

a
abca
bca
ca

因此

lcp(1,2) = lcp(a, abca) = 1
lcp(1,4) = min(lcp(1,2), lcp(2,3), lcp(3,4)) = 0

【讨论】：

我只是想确认，对于后缀 x 和 y 的任何起始索引，lcp(x,y)=min{lcp(x,x+1,). ..lcp(y-1,y)} 或 x 和 y 也应该像 x' 和 y' 其中 x' 是后缀 x 的排序位置， y' 是后缀 y 的排序位置，即 lcp(x', y')=min(lcp(x',x'+1)...lcp(y'-1,y')}?

【解决方案2】：

你不能通过简单地计算数组上所有相邻后缀对的 lcp 的最小值来找到任何两个后缀的 LCP。

我们可以计算任何后缀 (i,j) 的 LCP 在以下的帮助下：

LCP(suffix i,suffix j)=LCP[RMQ(i + 1; j)]

还要注意(i<j) 和LCP (suff i,suff j) 不一定相等LCP (Suff j,suff i)。 RMQ 是范围最小查询。

paper 的第 3 页。

Details:

第 1 步： 首先计算相邻/连续后缀对的LCP。

n= 字符串长度。

suffixArray[] 为后缀数组。

void calculateadjacentsuffixes(int n)
{
    for (int i=0; i<n; ++i) Rank[suffixArray[i]] = i;
    Height[0] = 0;
    for (int i=0, h=0; i<n; ++i)
    {
        if (Rank[i] > 0)
        {
            int j = suffixArray[Rank[i]-1];
            while (i + h < n && j + h < n && str[i+h] == str[j+h])
            {
                h++;
            }
            Height[Rank[i]] = h;
            if (h > 0) h--;
        }
    }
}

注意：Height[i]=LCPs of (Suffix i-1 ,suffix i) ie.高度数组包含相邻后缀的 LCP。

第 2 步：

使用 RMQ 概念计算任意两个后缀 i,j 的 LCP。 RMQ预计算功能：

void preprocesses(int N)
{
    int i, j;

    //initialize M for the intervals with length 1
    for (i = 0; i < N; i++)
        M[i][0] = i;

    //compute values from smaller to bigger intervals
    for (j = 1; 1 << j <= N; j++)
    {
        for (i = 0; i + (1 << j) - 1 < N; i++)
        {
            if (Height[M[i][j - 1]] < Height[M[i + (1 << (j - 1))][j - 1]])
            {
                M[i][j] = M[i][j - 1];
            }
            else
            {
                M[i][j] = M[i + (1 << (j - 1))][j - 1];
            }
        }
    }
}

第三步：计算任意两个后缀 i,j 之间的 LCP

int LCP(int i,int j)
{
    /*Make sure we send i<j always */
    /* By doing this ,it resolve following
    suppose ,we send LCP(5,4) then it converts it to LCP(4,5)
    */
    if(i>j)
        swap(i,j);

    /*conformation over*/

    if(i==j)
    {
        return (Length_of_str-suffixArray[i]);
    }
    else
    {
        return Height[RMQ(i+1,j)];
        //LCP(suffix i,suffix j)=LCPadj[RMQ(i + 1; j)] 
        //LCPadj=LCP of adjacent suffix =Height.
    }
}

RMQ函数在哪里：

int RMQ(int i,int j)
{
    int k=log((double)(j-i+1))/log((double)2);
    int vv= j-(1<<k)+1 ;
    if(Height[M[i][k]]<=Height[ M[vv][ k] ])
        return M[i][k];
    else
        return M[ vv ][ k];
}

请参阅 Topcoder tutorials 了解 RMQ。

您可以通过我的 blog 查看完整的 C++ 实现。

【讨论】：