特定元组的生成和计数（matlab）

Question

我需要生成（我更喜欢 MATLAB）所有“唯一”整数元组 k = (k_1, k_2, ..., k_r) 和 其对应的多重性，满足两个附加条件：

1. sum(k) = n
2. 0<=k_i<=w_i, where vector w = (w_1,w_2, ..., w_r) contains predefined limits w_i.

“唯一”元组意味着它包含唯一的无序元素集 (k_1,k_2, ..., k_r)

[t,m] = func(n,w)
t ... matrix of tuples, m .. vector of tuples multiplicities

典型的问题维度大约是：

n ~ 30, n <= sum(w) <= n+10, 5 <= r <= n

（我希望存在任何多项式时间算法！！！）

 Example:

n = 8, w = (2,2,2,2,2), r = length(w) 

[t,m] = func(n,w)

t = 

2 2 2 2 0 

2 2 2 1 1

m = 

5

10

在这种情况下，只存在两个“唯一”元组：

(2,2,2,2,0) 多重性为 5

有 5 个具有相同元素集的“相同”元组

 0     2     2     2     2

 2     0     2     2     2

 2     2     0     2     2

 2     2     2     0     2

 2     2     2     2     0

和

(2,2,2,1,1) 重数为 10

有 10 个具有相同元素集的“相同”元组

 1     1     2     2     2

 1     2     1     2     2

 1     2     2     1     2

 1     2     2     2     1

 2     1     1     2     2

 2     1     2     1     2

 2     1     2     2     1

 2     2     1     1     2

 2     2     1     2     1

 2     2     2     1     1

提前感谢您的帮助。

Answer 1

这是更好的算法，由 Bruno Luong（杰出的 MATLAB 程序员）创建：

function [t, m, v] = tupmul(n, w)
v = tmr(length(w), n, w);
t = sort(v,2);
[t,~,J] = unique(t,'rows');
m = accumarray(J(:),1);
end % tupmul

function v = tmr(p, n, w, head)
if p==1
    if n <= w(end)
        v = n;
    else
        v = zeros(0,1);
    end
else
    jmax = min(n,w(end-p+1));
    v = cell2mat(arrayfun(@(j) tmr(p-1, n-j, w, j), (0:jmax)', ...
        'UniformOutput', false));
end

if nargin>=4 % add a head column
    v = [head+zeros(size(v,1),1,class(head)) v];
end

end %tmr

Answer 2

非常粗糙（极其无效）的解决方案。 FOR 循环超过 2^nvec-1 (nvec = r*maxw) 测试样本和变量 res 的存储真的很糟糕！

此解决方案基于question。

有没有更有效的方法？

function [tup,mul] = tupmul(n,w)
r = length(w);
maxw = max(w);
w = repmat(w,1,maxw+1);
vec = 0:maxw;
vec = repmat(vec',1,r);
vec = reshape(vec',1,r*(maxw+1));
nvec = length(vec);
res = [];
for i = 1:(2^nvec - 1)
    ndx = dec2bin(i,nvec) == '1';
    if sum(vec(ndx)) == n && all(vec(ndx)<=w(ndx)) && length(vec(ndx))==r
        res = [res; vec(ndx)];
    end
end
tup = unique(res,'rows');
ntup = size(tup,1);
mul = zeros(ntup,1);
for i=1:ntup
    mul(i) = size(unique(perms(tup(i,:)),'rows'),1);
end
end

例子：

> [tup mul] = tupmul(8,[2 2 2 2 2])

tup =

     0 2 2 2 2
     1 1 2 2 2


mul =

     5
    10 

或相同的情况，但前两个位置的限制有所改变：

>> [tup mul] = tupmul(8,[1 1 2 2 2])

tup =

     1     1     2     2     2


mul =

    10