求一个数的最大素数的算法答案

【问题标题】：Algorithm to find Largest prime factor of a number求一个数的最大素数的算法
【发布时间】：2010-09-06 14:26:12
【问题描述】：

计算一个数的最大质因数的最佳方法是什么？

我认为最有效的方法如下：

找到能整除的最小素数
检查除法结果是否为素数
如果不是，则查找下一个最低值
转到 2。

我的这个假设是基于更容易计算小的素因数。这是对的吗？我应该研究哪些其他方法？

编辑：我现在意识到，如果有两个以上的质数因子在起作用，我的方法是徒劳的，因为当结果是其他两个质数的乘积时，第 2 步会失败，因此需要递归算法。

再次编辑：现在我意识到这仍然有效，因为最后找到的素数必须是最高的，因此对第 2 步的非素数结果的任何进一步测试都会导致更小的素数.

【问题讨论】：

我的方法是：（1）将大的，可能的数字除以2； (2) 检查大数是否均分； (3) 如果是，检查除以 2 的数是否为素数。如果是，请将其退回。 (4) 否则，将除以 2 的数字减去 1，返回步骤 3。
1. 找到任何可以明确划分的数字（对于 i = 2 到 int(sqr(num))）2. 除以该数字（num = num/i）并重复直到没有发现在1.的区间3.num是最大因子
我们可以用小素数除，最后剩下的就是最大素数（我猜）

标签： algorithm math prime-factoring

【解决方案1】：

我认为最好将所有可能的素数存储在某个地方，然后 n 并遍历它们以找到最大的除数。您可以从prime-numbers.org 获取素数。

当然我假设你的数字不是太大:)

【讨论】：

【解决方案2】：

这可能并不总是更快，但更乐观的是你会找到一个大的素除数：

N 是你的号码
如果是素数，那么return(N)
计算质数直到Sqrt(N)
按降序遍历素数（最大在前）
- 如果N is divisible by Prime 那么Return(Prime)

编辑：在第 3 步中，您可以使用 Eratosthenes 筛或阿特金斯筛或任何您喜欢的东西，但筛子本身不会为您找到最大的主要因素。（这就是为什么我不会选择 SQLMenace 的帖子作为官方答案的原因......）

【讨论】：

您不需要进行试因式分解来确定它是否为质数（步骤 2）吗？另外，考虑找出 15 的最大素数。直到 sqrt(15) 的素数是 2 和 3；但最大的质因数是 5，不是吗？与 20 类似。

【解决方案3】：

n = abs(number);
result = 1;
if (n mod 2 == 0) {
 result = 2;
 while (n mod 2 = 0) n /= 2;
}
for(i=3; i<sqrt(n); i+=2) {
 if (n mod i == 0) {
   result = i;
   while (n mod i = 0)  n /= i;
 }
}
return max(n,result)

有一些模检验是多余的，因为如果所有因素 2 和 3 都已被删除，n 永远不能被 6 整除。您只能允许 i 使用素数，这在此处的其他几个答案中有所显示。

您实际上可以在这里将 Eratosthenes 的筛子交织在一起：

首先创建整数列表到sqrt(n)。
在 for 循环中标记所有倍数我直到新的sqrt(n) 素数，并改用 while 循环。
将 i 设置为中的下一个素数列表。

另见this question。

【讨论】：

【解决方案4】：

实际上有几种更有效的方法可以找到大数的因数（对于较小的数，试除法工作得相当好）。

如果输入数字有两个非常接近其平方根的因子，则一种非常快的方法称为Fermat factorisation。它利用恒等式 N = (a + b)(a - b) = a^2 - b^2，易于理解和实现。不幸的是，它通常不是很快。

最广为人知的分解长达 100 位数字的方法是 Quadratic sieve。作为奖励，部分算法很容易通过并行处理完成。

我听说的另一种算法是Pollard's Rho algorithm。它不如一般的二次筛高效，但似乎更容易实现。

一旦你决定如何将一个数字分成两个因子，这里是我能想到的最快的算法来找到一个数字的最大素因子：

创建一个优先级队列，该队列最初存储数字本身。每次迭代，您从队列中删除最大的数字，并尝试将其分成两个因素（当然，不允许 1 成为这些因素之一）。如果这一步失败，数字是质数，你有你的答案！否则，您将这两个因素添加到队列中并重复。

【讨论】：

Pollard rho 和椭圆曲线法在去除数字的小素因数方面比二次筛法要好得多。无论数量多少，QS 的运行时间都差不多。哪种方法更快取决于您的号码是多少； QS 将更快地破解难以分解的数字，而 rho 和 ECM 将更快地破解易于分解的数字。
感谢您提供二次变化建议。我需要为我的一个客户实现这一点，我提出的初始版本与@mercutio 在他的问题中建议的内容类似。二次解是我现在在math.tools/calculator/prime-factors 为我的客户的工具提供动力的原因。
如果有解决这个问题的有效方法，那是不是意味着网络加密不安全？

【解决方案5】：

最简单的解决方案是一对相互递归函数。

第一个函数生成所有素数：

从所有大于 1 的自然数列表开始。
删除所有非质数。也就是说，没有素因数的数字（除了它们自己）。见下文。

第二个函数以升序返回给定数字n 的质因数。

列出所有素数（见上文）。
删除所有不是n 的因数的数字。

n 的最大素数是第二个函数给出的最后一个数。

此算法需要一个惰性列表或具有按需调用语义的语言（或数据结构）。

为澄清起见，这里是 Haskell 中上述的一种（低效）实现：

import Control.Monad

-- All the primes
primes = 2 : filter (ap (<=) (head . primeFactors)) [3,5..]

-- Gives the prime factors of its argument
primeFactors = factor primes
  where factor [] n = []
        factor xs@(p:ps) n =
          if p*p > n then [n]
          else let (d,r) = divMod n p in
            if r == 0 then p : factor xs d
            else factor ps n

-- Gives the largest prime factor of its argument
largestFactor = last . primeFactors

加快速度只是更聪明地检测哪些数字是素数和/或n的因数，但算法保持不变。

【讨论】：

【解决方案6】：

所有数都可以表示为素数的乘积，例如：

102 = 2 x 3 x 17
712 = 2 x 2 x 2 x 89

您可以通过简单地从 2 开始并继续除法直到结果不是您的数的倍数来找到这些：

712 / 2 = 356 .. 356 / 2 = 178 .. 178 / 2 = 89 .. 89 / 89 = 1

使用这种方法，您不必实际计算任何素数：它们都将是素数，因为您已经尽可能多地分解了所有前面的数字。

number = 712;
currNum = number;    // the value we'll actually be working with
for (currFactor in 2 .. number) {
    while (currNum % currFactor == 0) {
        // keep on dividing by this number until we can divide no more!
        currNum = currNum / currFactor     // reduce the currNum
    }
    if (currNum == 1) return currFactor;    // once it hits 1, we're done.
}

【讨论】：

是的，但这是非常低效的。一旦你除掉了所有的 2，你真的不应该尝试除以 4，或除以 6，或......；在极限情况下，只检查素数或使用其他算法确实效率更高。
+1 来抵消 wnoise，我认为这是错误的。尝试除以 4 只会发生一次，并且会立即失败。我认为这并不比从候选列表中删除 4 更糟糕，而且肯定比事先找到所有素数要快。
@Beowulf。在投票之前尝试运行此代码。它返回素数；你只是不懂算法。
代码工作正常，但如果传入的数字是素数，则速度很慢。我也只会跑到正方形并增加 2。不过，对于非常大的数字来说，这可能太慢了。
blabla999 完全正确。例如 1234567898766700 = 2*2*5*5*12345678987667。当我们到达currFactor = 3513642 时，我们知道 12345678987667 是素数，并且应该将其作为答案返回。相反，此代码将继续枚举，直到 12345678987667 本身。这比必要的慢 3,513,642 倍。

【解决方案7】：

在我看来，给出的算法的第 2 步并不是一种高效的方法。你没有合理的期望它是素数。

此外，先前暗示埃拉托色尼筛法的答案是完全错误的。我刚刚写了两个程序来分解 123456789。一个基于 Sieve，一个基于以下：

1)  Test = 2 
2)  Current = Number to test 
3)  If Current Mod Test = 0 then  
3a)     Current = Current Div Test 
3b)     Largest = Test
3c)     Goto 3. 
4)  Inc(Test) 
5)  If Current < Test goto 4
6)  Return Largest

这个版本比 Sieve 快 90 倍。

问题是，在现代处理器上，操作类型的重要性远低于操作数量，更不用说上面的算法可以在缓存中运行，而 Sieve 则不能。 Sieve 使用了很多操作来剔除所有的合数。

另外请注意，我将确定的因素分开会减少必须测试的空间。

【讨论】：

这就是我所说的，但被否决了:(我想问题是如果这个数字有一个非常大的素因数（比如它自己），那么这个方法必须一直循环到这个数字。但在很多情况下，这种方法非常有效。
读回你的也是一样，但你的第一部分令人困惑。
试试这个号码 143816789988504044536402352738195137863656439，让我知道这有多高效......

【解决方案8】：

这是我所知道的最好的算法（在 Python 中）

def prime_factors(n):
    """Returns all the prime factors of a positive integer"""
    factors = []
    d = 2
    while n > 1:
        while n % d == 0:
            factors.append(d)
            n /= d
        d = d + 1

    return factors


pfs = prime_factors(1000)
largest_prime_factor = max(pfs) # The largest element in the prime factor list

上述方法在最坏的情况下（输入为素数时）在O(n) 中运行。

编辑：
下面是O(sqrt(n)) 版本，正如评论中所建议的那样。这是代码，再一次。

def prime_factors(n):
    """Returns all the prime factors of a positive integer"""
    factors = []
    d = 2
    while n > 1:
        while n % d == 0:
            factors.append(d)
            n /= d
        d = d + 1
        if d*d > n:
            if n > 1: factors.append(n)
            break
    return factors


pfs = prime_factors(1000)
largest_prime_factor = max(pfs) # The largest element in the prime factor list

【讨论】：

请在投票之前阅读和/或运行此代码。它工作正常。只需复制和粘贴。正如所写的 prime_factors(1000) 将返回 [2,2,2,5,5,5]，它应该被解释为 2^3*5^3，也就是素数分解。
"在最坏的情况下以O(sqrt(n)) 运行" - 不，在最坏的情况下它以O(n) 运行（例如，当n 为素数时。）
容易做到 O(sqrt(n))，当 d*d > n 时停止循环，如果此时 n > 1，那么它的值应该附加到主要因素。
这个有名字吗？
因为 2 是唯一的偶素数，所以不是每次都加 1，您可以单独迭代 d=2，然后将其递增 1，然后从 d=3 开始，您可以递增2.所以它会减少迭代次数... :)

【解决方案9】：

我的回答是基于Triptych 的，但在此基础上改进了很多。它基于这样一个事实，即除了 2 和 3，所有质数都是 6n-1 或 6n+1 的形式。

var largestPrimeFactor;
if(n mod 2 == 0)
{
    largestPrimeFactor = 2;
    n = n / 2 while(n mod 2 == 0);
}
if(n mod 3 == 0)
{
    largestPrimeFactor = 3;
    n = n / 3 while(n mod 3 == 0);
}

multOfSix = 6;
while(multOfSix - 1 <= n)
{
    if(n mod (multOfSix - 1) == 0)
    {
        largestPrimeFactor = multOfSix - 1;
        n = n / largestPrimeFactor while(n mod largestPrimeFactor == 0);
    }

    if(n mod (multOfSix + 1) == 0)
    {
        largestPrimeFactor = multOfSix + 1;
        n = n / largestPrimeFactor while(n mod largestPrimeFactor == 0);
    }
    multOfSix += 6;
}

我最近写了一个blog article 解释这个算法是如何工作的。

我敢冒险，一种不需要对素性进行测试（也不需要筛子构造）的方法会比使用这些方法运行得更快。如果是这样的话，这可能是这里最快的算法。

【讨论】：

你实际上可以把这个想法更进一步，例如超过 2,3,5 所有素数的形式为 30n+k (n >= 0)，其中 k 只取 1 到 29 之间不能被 2,3 或 5 整除的值，即 7,11,13， 17,19,23,29。您甚至可以在迄今为止发现的每几个素数之后动态调整为 2*3*5*7*...*n+k ，其中 k 不能被这些素数中的任何一个整除（请注意，并非所有可能的 k 都需要是素数，例如对于 210n+k，你必须包括 121，否则你会错过331)
我猜应该是while (multOfSix - 1 <= n)

【解决方案10】：

#include<stdio.h>
#include<conio.h>
#include<math.h>
#include <time.h>

factor(long int n)
{
long int i,j;
while(n>=4)
 {
if(n%2==0) {  n=n/2;   i=2;   }

 else
 { i=3;
j=0;
  while(j==0)
  {
   if(n%i==0)
   {j=1;
   n=n/i;
   }
   i=i+2;
  }
 i-=2;
 }
 }
return i;
 }

 void main()
 { 
  clock_t start = clock();
  long int n,sp;
  clrscr();
  printf("enter value of n");
  scanf("%ld",&n);
  sp=factor(n);
  printf("largest prime factor is %ld",sp);

  printf("Time elapsed: %f\n", ((double)clock() - start) / CLOCKS_PER_SEC);
  getch();
 }

【讨论】：

【解决方案11】：

我知道这不是一个快速的解决方案。发布为希望更容易理解缓慢的解决方案。

 public static long largestPrimeFactor(long n) {

        // largest composite factor must be smaller than sqrt
        long sqrt = (long)Math.ceil(Math.sqrt((double)n));

        long largest = -1;

        for(long i = 2; i <= sqrt; i++) {
            if(n % i == 0) {
                long test = largestPrimeFactor(n/i);
                if(test > largest) {
                    largest = test;
                }
            }
        }

        if(largest != -1) {
            return largest;
        }

        // number is prime
        return n;
    }

【讨论】：

【解决方案12】：

这里是作为生成器提供的同样的函数@Triptych，它也被稍微简化了。

def primes(n):
    d = 2
    while (n > 1):
        while (n%d==0):
            yield d
            n /= d
        d += 1

然后可以使用以下方法找到最大素数：

n= 373764623
max(primes(n))

以及使用以下方法找到的因素列表：

list(primes(n))

【讨论】：

【解决方案13】：

首先计算一个存储素数的列表，例如2 3 5 7 11 13 ...

每次对一个数进行素数分解时，请使用 Triptych 的实现，但要迭代这个素数列表而不是自然整数。

【讨论】：

【解决方案14】：

这是我在 C# 中的尝试。最后的打印输出是数字的最大素数。我检查了，它可以工作。

namespace Problem_Prime
{
  class Program
  {
    static void Main(string[] args)
    {
      /*
       The prime factors of 13195 are 5, 7, 13 and 29.

      What is the largest prime factor of the number 600851475143 ?
       */
      long x = 600851475143;
      long y = 2;
      while (y < x)
      {
        if (x % y == 0)
        {
          // y is a factor of x, but is it prime
          if (IsPrime(y))
          {
            Console.WriteLine(y);
          }
          x /= y;
        }

        y++;

      }
      Console.WriteLine(y);
      Console.ReadLine();
    }
    static bool IsPrime(long number)
    {
      //check for evenness
      if (number % 2 == 0)
      {
        if (number == 2)
        {
          return true;
        }
        return false;
      }
      //don't need to check past the square root
      long max = (long)Math.Sqrt(number);
      for (int i = 3; i <= max; i += 2)
      {
        if ((number % i) == 0)
        {
          return false;
        }
      }
      return true;
    }

  }
}

【讨论】：

【解决方案15】：

使用 Java：

对于int 值：

public static int[] primeFactors(int value) {
    int[] a = new int[31];
    int i = 0, j;
    int num = value;
    while (num % 2 == 0) {
        a[i++] = 2;
        num /= 2;
    }
    j = 3;
    while (j <= Math.sqrt(num) + 1) {
        if (num % j == 0) {
            a[i++] = j;
            num /= j;
        } else {
            j += 2;
        }
    }
    if (num > 1) {
        a[i++] = num;
    }
    int[] b = Arrays.copyOf(a, i);
    return b;
}

对于long 值：

static long[] getFactors(long value) {
    long[] a = new long[63];
    int i = 0;
    long num = value;
    while (num % 2 == 0) {
        a[i++] = 2;
        num /= 2;
    }
    long j = 3;
    while (j <= Math.sqrt(num) + 1) {
        if (num % j == 0) {
            a[i++] = j;
            num /= j;
        } else {
            j += 2;
        }
    }
    if (num > 1) {
        a[i++] = num;
    }
    long[] b = Arrays.copyOf(a, i);
    return b;
}

【讨论】：

【解决方案16】：

    //this method skips unnecessary trial divisions and makes 
    //trial division more feasible for finding large primes

    public static void main(String[] args) 
    {
        long n= 1000000000039L; //this is a large prime number 
        long i = 2L;
        int test = 0;

        while (n > 1)
        {
            while (n % i == 0)
            {
                n /= i;     
            }

            i++;

            if(i*i > n && n > 1) 
            {
                System.out.println(n); //prints n if it's prime
                test = 1;
                break;
            }
        }

        if (test == 0)  
            System.out.println(i-1); //prints n if it's the largest prime factor
    }

【讨论】：

您是否尝试过使用 1,000,000,000,039 的代码？它也应该在眨眼间运行。是吗？
你可以提前知道，无需尝试。 10^12 = (2*5)^12 = 2^12 * 5^12。所以你的while 循环将通过i 的2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2,2, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5, 2,3,4,5 值。全部 60 次迭代。但是对于 (10^12+39) 将有 (10^12+38) 次迭代，i=2,3,4,5,6,...,10^12+39。即使 10^10 次操作需要一秒钟，10^12 也需要 100 秒。但实际上只需要 10^6 次迭代，如果 10^10 次操作需要 1 秒，10^6 将需要 1/10,000 秒。
因为我没有意识到 (10^12+39) 是我现在所做的素数。我明白你在说什么。
好的，所以你可以改变你的代码，这样素数就不会有这么大的减速：如果 n = ab 和 a a a = n，即 aa
long n = 2*1000000000039L 时会发生什么？它是否以应有的速度工作？（另外，你能通过使用return; 语句来简化你的代码吗？）。（如果你想让我停止轻推你，就这么说吧；））

【解决方案17】：

#python implementation
import math
n = 600851475143
i = 2
factors=set([])
while i<math.sqrt(n):
   while n%i==0:
       n=n/i
       factors.add(i)
   i+=1
factors.add(n)
largest=max(factors)
print factors
print largest

【讨论】：

25 是 25 的最大素数吗？

【解决方案18】：

在 C++ 中使用递归计算数字的最大素数。代码的工作原理解释如下：

int getLargestPrime(int number) {
    int factor = number; // assumes that the largest prime factor is the number itself
    for (int i = 2; (i*i) <= number; i++) { // iterates to the square root of the number till it finds the first(smallest) factor
        if (number % i == 0) { // checks if the current number(i) is a factor
            factor = max(i, number / i); // stores the larger number among the factors
            break; // breaks the loop on when a factor is found
        }
    }
    if (factor == number) // base case of recursion
        return number;
    return getLargestPrime(factor); // recursively calls itself
}

【讨论】：

【解决方案19】：

通过从数字中删除所有质因数的 Python 迭代方法

def primef(n):
    if n <= 3:
        return n
    if n % 2 == 0:
        return primef(n/2)
    elif n % 3 ==0:
        return primef(n/3)
    else:
        for i in range(5, int((n)**0.5) + 1, 6):
            #print i
            if n % i == 0:
                return primef(n/i)
            if n % (i + 2) == 0:
                return primef(n/(i+2))
    return n

【讨论】：

【解决方案20】：

这是我快速计算最大素数的方法。它基于修改后的x 不包含非主要因素的事实。为了实现这一点，我们会在找到一个因子后立即划分x。然后，唯一剩下的就是返回最大的因子。应该已经是素数了。

代码（Haskell）：

f max' x i | i > x = max'
           | x `rem` i == 0 = f i (x `div` i) i  -- Divide x by its factor
           | otherwise = f max' x (i + 1)  -- Check for the next possible factor

g x = f 2 x 2

【讨论】：

但这不会也尝试除以所有偶数吗？

【解决方案21】：

JavaScript 代码：

'option strict';

function largestPrimeFactor(val, divisor = 2) { 
    let square = (val) => Math.pow(val, 2);

    while ((val % divisor) != 0 && square(divisor) <= val) {
        divisor++;
    }

    return square(divisor) <= val
        ? largestPrimeFactor(val / divisor, divisor)
        : val;
}

用法示例：

let result = largestPrimeFactor(600851475143);

Here is an example of the code:

【讨论】：

【解决方案22】：

以下 C++ 算法不是最好的，但它适用于十亿以下的数字并且速度非常快

#include <iostream>
using namespace std;

// ------ is_prime ------
// Determines if the integer accepted is prime or not
bool is_prime(int n){
    int i,count=0;
    if(n==1 || n==2)
      return true;
    if(n%2==0)
      return false;
    for(i=1;i<=n;i++){
    if(n%i==0)
        count++;
    }
    if(count==2)
      return true;
    else
      return false;
 }
 // ------ nextPrime -------
 // Finds and returns the next prime number
 int nextPrime(int prime){
     bool a = false;
     while (a == false){
         prime++;
         if (is_prime(prime))
            a = true;
     }
  return prime;
 }
 // ----- M A I N ------
 int main(){

      int value = 13195;
      int prime = 2;
      bool done = false;

      while (done == false){
          if (value%prime == 0){
             value = value/prime;
             if (is_prime(value)){
                 done = true;
             }
          } else {
             prime = nextPrime(prime);
          }
      }
        cout << "Largest prime factor: " << value << endl;
 }

【讨论】：

【解决方案23】：

我使用的算法继续将数字除以当前的素数。

我在 python 3 中的解决方案：

def PrimeFactor(n):
    m = n
    while n%2==0:
        n = n//2
    if n == 1:         # check if only 2 is largest Prime Factor 
        return 2
    i = 3
    sqrt = int(m**(0.5))  # loop till square root of number
    last = 0              # to store last prime Factor i.e. Largest Prime Factor
    while i <= sqrt :
        while n%i == 0:
            n = n//i       # reduce the number by dividing it by it's Prime Factor
            last = i
        i+=2
    if n> last:            # the remaining number(n) is also Factor of number 
        return n
    else:
        return last
print(PrimeFactor(int(input())))

输入：10 输出：5

输入：600851475143 输出：6857

【讨论】：

【解决方案24】：

类似于@Triptych 的答案，但也不同。在此示例中，未使用列表或字典。代码是用 Ruby 编写的

def largest_prime_factor(number)
  i = 2
  while number > 1
    if number % i == 0
      number /= i;
    else
      i += 1
    end
  end
  return i
end

largest_prime_factor(600851475143)
# => 6857

【讨论】：

终于有了可读性和即时（在 js 中）同时执行的东西。我正在尝试使用无限素数列表，但它在 100 万时已经太慢了。

【解决方案25】：

“James Wang”在网上找到了这个解决方案

public static int getLargestPrime( int number) {

    if (number <= 1) return -1;

    for (int i = number - 1; i > 1; i--) {
        if (number % i == 0) {
            number = i;
        }
    }
    return number;
}

【讨论】：

【解决方案26】：

使用筛子的素因子：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 10001  
typedef long long ll;
bool visit[N];
vector<int> prime;

void sieve()
{
            memset( visit , 0 , sizeof(visit));
            for( int i=2;i<N;i++ )
            {
                if( visit[i] == 0)
                {
                    prime.push_back(i);
                    for( int j=i*2; j<N; j=j+i )
                    {
                        visit[j] = 1;
                    }
                }
            }   
}
void sol(long long n, vector<int>&prime)
{
            ll ans = n;
            for(int i=0; i<prime.size() || prime[i]>n; i++)
            {
                while(n%prime[i]==0)
                {
                    n=n/prime[i];
                    ans = prime[i];
                }
            }
            ans = max(ans, n);
            cout<<ans<<endl;
}
int main() 
{
           ll tc, n;
           sieve();

           cin>>n;
           sol(n, prime);

           return 0;
}

【讨论】：

【解决方案27】：

这是我在 Clojure 中的尝试。只为prime? 和素数的素数走赔率，即。 sieve。使用惰性序列有助于在需要它们之前生成值。

(defn prime? 
  ([n]
    (let [oddNums (iterate #(+ % 2) 3)]
    (prime? n (cons 2 oddNums))))
  ([n [i & is]]
    (let [q (quot n i)
          r (mod n i)]
    (cond (< n 2)       false
          (zero? r)     false
          (> (* i i) n) true
          :else         (recur n is)))))

(def primes 
  (let [oddNums (iterate #(+ % 2) 3)]
  (lazy-seq (cons 2 (filter prime? oddNums)))))

;; Sieve of Eratosthenes
(defn sieve
  ([n] 
    (sieve primes n))
  ([[i & is :as ps] n]
    (let [q (quot n i)
          r (mod n i)]
    (cond (< n 2)       nil
          (zero? r)     (lazy-seq (cons i (sieve ps q)))
          (> (* i i) n) (when (> n 1) (lazy-seq [n]))
          :else         (recur is n)))))

(defn max-prime-factor [n]
  (last (sieve n)))

【讨论】：

【解决方案28】：

猜猜，除了执行分解之外没有直接的方法，就像上面的例子所做的那样，即

在迭代中，您确定数字 N 的“小”因子 f，然后继续简化问题“找到 N 的最大素因子” :=N/f 与候选因子 >=f ".

从 f 的特定大小开始，如果您对减少的 N' 进行素性测试，则预期的搜索时间会更短，以防万一，您的 N'已经是初始N的最大素数了。

【讨论】：

【解决方案29】：

受您的问题启发，我决定在 Python 中实现我自己的因式分解（并找到最大的素因数）。

据我所知，可能最容易实现但非常有效的因式分解算法是Pollard's Rho 算法。它的运行时间最多为O(N^(1/4))，比试除算法的时间O(N^(1/2))快得多。两种算法只有在复合（非素数）数的情况下才有这些运行时间，这就是为什么应该使用素数测试来过滤掉素数（不可因数）。

我在代码中使用了以下算法：Fermat Primality Test ...、Pollard's Rho Algorithm ...、Trial Division Algorithm。在运行 Pollard 的 Rho 之前使用 Fermat 素数测试以过滤掉素数。 Trial Division 被用作后备，因为 Pollard 的 Rho 在极少数情况下可能无法找到因子，尤其是对于一些小数字。

显然，在将一个数字完全分解为已排序的素因子列表后，最大的素因子将是该列表中的最后一个元素。在一般情况下（对于任何随机数），除了完全分解一个数字之外，我不知道有任何其他方法可以找出最大的素因数。

作为我的代码中的示例，我将 Pi 的第一个 190 小数位分解，代码在 1 秒内分解这个数字，并显示最大的素数因子，即 165位数（545 位）！

Try it online!

def is_fermat_probable_prime(n, *, trials = 32):
    # https://en.wikipedia.org/wiki/Fermat_primality_test
    import random
    if n <= 16:
        return n in (2, 3, 5, 7, 11, 13)
    for i in range(trials):
        if pow(random.randint(2, n - 2), n - 1, n) != 1:
            return False
    return True

def pollard_rho_factor(N, *, trials = 16):
    # https://en.wikipedia.org/wiki/Pollard%27s_rho_algorithm
    import random, math
    for j in range(trials):
        i, stage, y, x = 0, 2, 1, random.randint(1, N - 2)
        while True:
            r = math.gcd(N, x - y)
            if r != 1:
                break
            if i == stage:
                y = x
                stage <<= 1
            x = (x * x + 1) % N
            i += 1
        if r != N:
            return [r, N // r]
    return [N] # Pollard-Rho failed

def trial_division_factor(n, *, limit = None):
    # https://en.wikipedia.org/wiki/Trial_division
    fs = []
    while n & 1 == 0:
        fs.append(2)
        n >>= 1
    d = 3
    while d * d <= n and limit is None or d <= limit:
        q, r = divmod(n, d)
        if r == 0:
            fs.append(d)
            n = q
        else:
            d += 2
    if n > 1:
        fs.append(n)
    return fs

def factor(n):
    if n <= 1:
        return []
    if is_fermat_probable_prime(n):
        return [n]
    fs = trial_division_factor(n, limit = 1 << 12)
    if len(fs) >= 2:
        return sorted(fs[:-1] + factor(fs[-1]))
    fs = pollard_rho_factor(n)
    if len(fs) >= 2:
        return sorted([e1 for e0 in fs for e1 in factor(e0)])
    return trial_division_factor(n)

def demo():
    import time, math
    # http://www.math.com/tables/constants/pi.htm
    # pi = 3.
    #     1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
    #     8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
    # n = first 190 fractional digits of Pi
    n =   1415926535_8979323846_2643383279_5028841971_6939937510_5820974944_5923078164_0628620899_8628034825_3421170679_8214808651_3282306647_0938446095_5058223172_5359408128_4811174502_8410270193_8521105559_6446229489
    print('Number:', n)
    tb = time.time()
    fs = factor(n)
    print('All Prime Factors:', fs)
    print('Largest Prime Factor:', f'({math.log2(fs[-1]):.02f} bits, {len(str(fs[-1]))} digits)', fs[-1])
    print('Time Elapsed:', round(time.time() - tb, 3), 'sec')

if __name__ == '__main__':
    demo()

输出：

Number: 1415926535897932384626433832795028841971693993751058209749445923078164062862089986280348253421170679821480865132823066470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489
All Prime Factors: [3, 71, 1063541, 153422959, 332958319, 122356390229851897378935483485536580757336676443481705501726535578690975860555141829117483263572548187951860901335596150415443615382488933330968669408906073630300473]
Largest Prime Factor: (545.09 bits, 165 digits) 122356390229851897378935483485536580757336676443481705501726535578690975860555141829117483263572548187951860901335596150415443615382488933330968669408906073630300473
Time Elapsed: 0.593 sec

【讨论】：