计算依赖图偏序的算法答案

【问题标题】：Algorithm for computing partial orderings of dependency graphs计算依赖图偏序的算法
【发布时间】：2011-06-27 15:49:30
【问题描述】：

我正在尝试计算依赖图的部分“拓扑排序”，准确地说，它实际上是一个 DAG（有向无环图）；以便在没有冲突依赖的情况下并行执行任务。

我想出了这个简单的算法，因为我在 Google 上找到的并不是那么有用（我一直在寻找那些本身并行运行以计算正常拓扑排序的算法）。

visit(node)
{
    maxdist = 0;
    foreach (e : in_edge(node))
    {
        maxdist = max(maxdist, 1 + visit(source(e)))
    }
    distance[node] = maxdist;
    return distance[node];
}

make_partial_ordering(node)
{
    set all node distances to +infinite;
    num_levels = visit(node, 0);
    return sort(nodes, by increasing distance) where distances < +infinite;
}

（请注意，这只是伪代码，肯定会有一些可能的小优化）

至于正确性，这似乎很明显：对于叶子（:= 没有进一步依赖关系的节点），到叶子的最大距离始终为 0（正确，因为由于 0 个边缘而跳过了循环）。对于连接到节点 n1,..,nk 的任何节点，到叶的最大距离为 1 + max{distance[n1],..,distance[nk]}。

我写下算法后确实找到了这篇文章：http://msdn.microsoft.com/en-us/magazine/dd569760.aspx 但老实说，他们为什么要做所有的列表复制等等，看起来效率真的很低..？

无论如何，我想知道我的算法是否正确，如果正确，那么它叫什么，以便我可以阅读一些关于它的内容。

更新：我在我的程序中实现了该算法，它似乎对我测试的所有内容都很有效。在代码方面它看起来像这样：

  typedef boost::graph_traits<my_graph> my_graph_traits;
  typedef my_graph_traits::vertices_size_type vertices_size_type;
  typedef my_graph_traits::vertex_descriptor vertex;
  typedef my_graph_traits::edge_descriptor edge;

  vertices_size_type find_partial_ordering(vertex v,
      std::map<vertices_size_type, std::set<vertex> >& distance_map)
  {
      vertices_size_type d = 0;

      BOOST_FOREACH(edge e, in_edges(v))
      {
          d = std::max(d, 1 + find_partial_ordering(source(e), distance_map));
      }

      distance_map[d].insert(v);

      return d;
  }

【问题讨论】：

您可能希望通过记忆 find_partial_ordering 的返回值将最坏情况从二次减至线性...
您是否需要预先为图表找到一组图层，或者您可以在任务执行时逐步完成？如果您有不同的任务执行时间，创建一个算法来挑选一个满足依赖关系的元素，然后在线程空闲时运行它是很简单的。

标签： algorithm graph dependencies pseudocode topological-sort

【解决方案1】：

您的算法 (C++) 有效，但它的最坏情况时间复杂度非常差。它在一个节点上计算find_partial_ordering 的路径，该路径与该节点的路径一样多。在树的情况下，路径的数量是 1，但在一般的有向无环图中，路径的数量可以是指数的。

您可以通过memoizing 您的find_partial_ordering 结果来解决此问题，并在您已经计算出特定节点的值时不递归地返回。但是，这仍然会给您留下一个堆栈破坏递归解决方案。

An efficient (linear) algorithm for topological sorting is given on Wikipedia。这不符合您的需求吗？

编辑：啊，我明白了，您想知道深度边界在哪里，以便您可以在给定深度并行化所有内容。您仍然可以为此使用 Wikipedia 上的算法（从而避免递归）。

首先，使用维基百科上的算法进行拓扑排序。现在通过按拓扑顺序访问节点来计算深度：

depths : array 1..n
for i in 1..n
    depths[i] = 0
    for j in children of i
        depths[i] = max(depths[i], depths[j] + 1)
return depths

请注意，上面没有递归，只是一个普通的O(|V| + |E|) 算法。这与 Wikipedia 上的算法具有相同的复杂性。

【讨论】：