使用最小优先级队列时，如何跟踪 Dijkstra 算法中的最短路径？答案

【问题标题】：How do I keep track of the shortest paths in the Dijkstra algorithm when using a min-priority queue?使用最小优先级队列时，如何跟踪 Dijkstra 算法中的最短路径？
【发布时间】：2019-10-29 17:49:18
【问题描述】：

我正在尝试使用优先级队列实现 Dijkstra 算法。

据我了解，“Dijkstra 算法”允许找到最短的“路径”，因为它将返回一组构成最短路径的顶点 *。

从这里的https://stackoverflow.com/a/20217659/1663462 和 (Dijkstra's_algorithm#Algorithm) 的答案看来，我应该能够只使用两个数据结构来实现它：图形和队列数据结构。

但是，在我使用上述两个数据结构的实现中，当我最终到达目标节点时，我没有存储顶点路径吗？换句话说，我只有最短的distance（单个标量值）。

这意味着如何跟踪？我能想到的唯一方法是使用附加数据结构 - 一个数组或哈希映射，其中key 是顶点，value 是它的父节点。

实际问题：

是否需要额外的数据结构来实现（“形成最短路径的顶点集 *”）？如果不是，我如何确定顶点？

【问题讨论】：

在我的脑海中，因为我在遍历 Neo4j 图形时做了同样的事情，是的，你需要额外的映射级别。 IIRC 您根据距离添加节点，因此每个距离都需要一个队列，然后始终从与最短距离关联的队列中删除。听起来你的想法倒退了。第一个键基于长度（距离）。这将是整数到队列的映射。然后在队列中是顶点（节点）。由于它们都具有相同的距离（成本因素），我想不出让它们分类的理由。 LIFO 或 FIFO 有效。
只是一个想法（尚未全部阅读）。如果您的顶点是对象，您还可以在每个节点中添加一个前驱（您的节点通过最短路径到达它）。这样，一旦到达目标，您就可以简单地使用此实例变量向后遍历。
@jottbe 与直接修改节点相比，将前辈存储在单独的表中可能会更好。除了挑剔你是对的。
@Paul：好的，我认为你是对的。我只是假设“节点”只是为 dijkstra 算法创建的。
所以这意味着 Wikipedia 文章中的算法不准确？

标签： algorithm graph-theory priority-queue dijkstra

【解决方案1】：

您不必按照您的建议跟踪每个顶点的整个路径。要自己生成s-v 路径，您必须为每个顶点记录v 的唯一内容就是“发现”它的边。

换句话说，当算法发现顶点v时，您记录边(u,v)，它在该边上实现了与s的距离最小化的值。

现在，假设图中每个顶点v 都有“发现”边，从s 到v 的路径可以计算如下：如果(u,v) 是（“发现”）为v存储的边，那么从s到v的最短路径是从s到u的路径（可以递归计算），然后是单边(u,v)。

因此，要构造从s 到v 的最短路径，您从顶点v 开始，然后沿相反方向沿着为v 存储的边，并继续直到到达s .

【讨论】：

【解决方案2】：

是的，额外的数据结构是必要的，我没有找到没有它的方法。

没有它的两个顶点之间的“距离”最短，但它不包括源顶点和目标顶点之间的顶点列表。

【讨论】：

这不是真的，不需要额外的结构。我发布了一个解释原因的答案。

【解决方案3】：

虽然在运行 Dijkstra 算法时可以在节点上存储额外的信息，但这并不是绝对必要的。

确实，在运行 Dijkstra 算法后，可以追溯一条最短路径，即使节点上没有存储额外信息。每个节点所需的唯一信息是它与源的距离。

我将使用以下符号：

s 是源顶点；
t 是目标顶点；
w(u,v) 是两个顶点u 和v 之间的边(u,v) 的长度（随图给出）；
d(v) 是从源 s 到顶点 v 的最短路径的长度（由 Dijkstra 计算）。

如果 Dijkstra 的算法运行正确，那么以下命题对于除源之外的所有顶点v 都必须为真：

顶点v 至少有一个邻居u 使得d(v) = d(u) + w(u,v)。

对于每个顶点v，调用该邻居的pred(v)。

然后可以反向构造最短路径，从目标t 开始，沿着pred 顶点。

【讨论】：