获得一个数字的所有除数的最佳方法是什么？答案

【问题标题】：What is the best way to get all the divisors of a number?获得一个数字的所有除数的最佳方法是什么？
【发布时间】：2010-09-15 08:46:49
【问题描述】：

这是非常愚蠢的方式：

def divisorGenerator(n):
    for i in xrange(1,n/2+1):
        if n%i == 0: yield i
    yield n

我想要得到的结果与这个相似，但我想要一个更智能的算法（这个太慢太笨了:-)

我可以足够快地找到主要因素及其多重性。我有一个以这种方式生成因子的生成器：

（因子 1，多重性 1）
（因子 2，多重性 2）
（因子 3，多重性 3）
等等……

即

的输出

for i in factorGenerator(100):
    print i

是：

(2, 2)
(5, 2)

我不知道这对我想做的事情有多大用处（我为其他问题编写了代码），无论如何我想要一种更聪明的方法

for i in divisorGen(100):
    print i

输出这个：

更新：非常感谢 Greg Hewgill 和他的“聪明的方式” :) 计算 100000000 的所有除数需要 0.01 秒，而笨方法在我的机器上采用 39 秒，非常酷：D

更新 2： 不要再说这是 this 帖子的副本。计算给定数的除数不需要计算所有除数。这是一个不同的问题，如果您认为不是，请在维基百科上查找“除数函数”。在发布之前阅读问题和答案，如果您不明白主题是什么，请不要添加无用且已经给出的答案。

【问题讨论】：

之所以建议这个问题几乎是“计算给定数的除数的算法”的重复，是因为该问题中建议的第一步是 找到所有除数，我相信这正是你想要做的？
Andrew 为了找到有多少除数，您只需找到主要因素，然后使用它们来计算可能有多少除数。在这种情况下不需要寻找除数。
@Andrea Ambu，请更正你的函数名称
嘿，你在 12 年后阅读这篇文章，你想要的是 sympy.divisors

标签： python algorithm math

【解决方案1】：

说明性的 Pythonic 单线：

from itertools import chain
from math import sqrt

def divisors(n):
    return set(chain.from_iterable((i,n//i) for i in range(1,int(sqrt(n))+1) if n%i == 0))

但更好的是，只需使用 sympy：

from sympy import divisors

【讨论】：

nitpick：重复的整数平方根，例如除数 (16) 或除数 (100)。

【解决方案2】：

我不明白为什么这个问题有这么多复杂的解决方案。

这是我的看法：

def divisors(n):
  lis =[1]
  s = math.ceil(math.sqrt(n))
  for g in range(s,1, -1):
     if n % g == 0:
        lis.append(g)
        lis.append(int(n / g))
  return (set(lis))

【讨论】：

【解决方案3】：

def divisorGen(n): v = n last = [] for i in range(1, v+1) : if n % i == 0 : last.append(i)

【讨论】：

虽然此代码 sn-p 可能是解决方案，但 including an explanation 确实有助于提高您的帖子质量。请记住，您是在为将来的读者回答问题，而这些人可能不知道您提出代码建议的原因。

【解决方案4】：

尝试计算给定数字的平方根，然后循环 range(1,square_root+1)。

number = int(input("Enter a Number: "))
square_root = round(number ** (1.0 / 2))
print(square_root)
divisor_list = []
for i in range(1,square_root+1):
    if number % i == 0: # Check if mod return 0 if yes then append i and number/i in the list
        divisor_list.append(i)
        divisor_list.append(int(number/i))

print(divisor_list)

【讨论】：

【解决方案5】：

我通过生成器函数的解决方案是：

def divisor(num):
    for x in range(1, num + 1):
        if num % x == 0:
            yield x
    while True:
        yield None

【讨论】：

【解决方案6】：

如果您的 PC 有大量内存，使用 numpy 单行粗暴就足够快了：

N = 10000000; tst = np.arange(1, N); tst[np.mod(N, tst) == 0]
Out: 
array([      1,       2,       4,       5,       8,      10,      16,
            20,      25,      32,      40,      50,      64,      80,
           100,     125,     128,     160,     200,     250,     320,
           400,     500,     625,     640,     800,    1000,    1250,
          1600,    2000,    2500,    3125,    3200,    4000,    5000,
          6250,    8000,   10000,   12500,   15625,   16000,   20000,
         25000,   31250,   40000,   50000,   62500,   78125,   80000,
        100000,  125000,  156250,  200000,  250000,  312500,  400000,
        500000,  625000, 1000000, 1250000, 2000000, 2500000, 5000000])

在我的慢速 PC 上耗时不到 1 秒。

【讨论】：

好主意，但是当您发布此内容时，我们已经有了sympy.divisors，它应该选择最有效的计算方式。

【解决方案7】：

鉴于您的 factorGenerator 函数，这里有一个应该可以工作的 divisorGen：

def divisorGen(n):
    factors = list(factorGenerator(n))
    nfactors = len(factors)
    f = [0] * nfactors
    while True:
        yield reduce(lambda x, y: x*y, [factors[x][0]**f[x] for x in range(nfactors)], 1)
        i = 0
        while True:
            f[i] += 1
            if f[i] <= factors[i][1]:
                break
            f[i] = 0
            i += 1
            if i >= nfactors:
                return

这个算法的整体效率将完全取决于factorGenerator的效率。

【讨论】：

哇，用 0.01 来计算 100000000 的所有除数对 39 采取愚蠢的方式（停止在 n/2）非常酷，谢谢！
对于我们这些不懂 Pythonese 的人来说，这实际上是在做什么？
一氧化碳：计算给定因子的所有乘法组合。大部分内容应该是不言自明的； “yield”行就像一个返回，但在返回一个值后继续。 [0]*nfactors 创建一个长度为 nfactors 的零列表。 reduce(...) 计算因子的乘积。
@SpeckiniusFlecksis：没有理由，operator.mul 在那里也同样有效。
这当然比除以 n/2 甚至 sqrt(n) 的每个数字要好得多，但是这种特殊的实现有两个缺点：非常不实用：大量的乘法和取幂，重复乘法相同的权力等。看起来像 Pythonic，但我不认为 Python 是为了扼杀性能。问题二：除数没有按顺序返回。

【解决方案8】：

我认为您可以停在math.sqrt(n) 而不是 n/2。

我会给你一个例子，这样你就可以很容易地理解它。现在sqrt(28) 是5.29，所以ceil(5.29) 将是6。所以如果我停在6，那么我可以得到所有的除数。怎么样？

先看代码，再看图片：

import math
def divisors(n):
    divs = [1]
    for i in xrange(2,int(math.sqrt(n))+1):
        if n%i == 0:
            divs.extend([i,n/i])
    divs.extend([n])
    return list(set(divs))

现在，看下图：

假设我已经将1 添加到我的除数列表中，我从i=2 开始

所以在所有迭代结束时，我已将商和除数添加到我的列表中，所有 28 的除数都被填充。

来源：How to determine the divisors of a number

【讨论】：

不错，不错！！ math.sqrt(n) instead of n/2 是优雅的必需品
这是不正确的。你忘了 n 本身是可整除的。
不错的答案。简单明了。但是对于 python 3，有 2 个必要的更改： n/i 应该使用 int(n/i) 键入，因为 n/i 产生浮点数。此外 rangex 在 python 3 中已被弃用，并已被 range 取代。
@GeoffroyCALA 他也可以使用n//i。

【解决方案9】：

虽然已经有很多解决方案了，但我真的不得不发布这个:)

这个是：

可读
短
独立，可复制和粘贴
快速（在有很多素因数和除数的情况下，比公认的解决方案快 10 倍以上）
python3、python2 和 pypy 兼容

代码：

def divisors(n):
    # get factors and their counts
    factors = {}
    nn = n
    i = 2
    while i*i <= nn:
        while nn % i == 0:
            factors[i] = factors.get(i, 0) + 1
            nn //= i
        i += 1
    if nn > 1:
        factors[nn] = factors.get(nn, 0) + 1

    primes = list(factors.keys())

    # generates factors from primes[k:] subset
    def generate(k):
        if k == len(primes):
            yield 1
        else:
            rest = generate(k+1)
            prime = primes[k]
            for factor in rest:
                prime_to_i = 1
                # prime_to_i iterates prime**i values, i being all possible exponents
                for _ in range(factors[prime] + 1):
                    yield factor * prime_to_i
                    prime_to_i *= prime

    # in python3, `yield from generate(0)` would also work
    for factor in generate(0):
        yield factor

【讨论】：

我会将while i*i <= nn 替换为while i <= limit，其中limit = math.sqrt(n)

【解决方案10】：

如果您只关心使用列表推导而不关心其他任何事情！

from itertools import combinations
from functools import reduce

def get_devisors(n):
    f = [f for f,e in list(factorGenerator(n)) for i in range(e)]
    fc = [x for l in range(len(f)+1) for x in combinations(f, l)]
    devisors = [1 if c==() else reduce((lambda x, y: x * y), c) for c in set(fc)]
    return sorted(devisors)

【讨论】：

【解决方案11】：

对于纯 Python 3.6 中高达 10**16 左右的数字，这是一种智能且快速的方法，

from itertools import compress

def primes(n):
    """ Returns  a list of primes < n for n > 2 """
    sieve = bytearray([True]) * (n//2)
    for i in range(3,int(n**0.5)+1,2):
        if sieve[i//2]:
            sieve[i*i//2::i] = bytearray((n-i*i-1)//(2*i)+1)
    return [2,*compress(range(3,n,2), sieve[1:])]

def factorization(n):
    """ Returns a list of the prime factorization of n """
    pf = []
    for p in primeslist:
      if p*p > n : break
      count = 0
      while not n % p:
        n //= p
        count += 1
      if count > 0: pf.append((p, count))
    if n > 1: pf.append((n, 1))
    return pf

def divisors(n):
    """ Returns an unsorted list of the divisors of n """
    divs = [1]
    for p, e in factorization(n):
        divs += [x*p**k for k in range(1,e+1) for x in divs]
    return divs

n = 600851475143
primeslist = primes(int(n**0.5)+1) 
print(divisors(n))

【讨论】：

用于查找素数和分解的算法的名称是什么？因为我想在 C# 中实现这个..

【解决方案12】：

老问题，但这是我的看法：

def divs(n, m):
    if m == 1: return [1]
    if n % m == 0: return [m] + divs(n, m - 1)
    return divs(n, m - 1)

您可以使用以下代理：

def divisorGenerator(n):
    for x in reversed(divs(n, n)):
        yield x

注意：对于支持的语言，这可能是尾递归。

【讨论】：

【解决方案13】：

为了扩展 Shimi 所说的内容，您应该只运行从 1 到 n 的平方根的循环。然后找到这对，执行n / i，这将涵盖整个问题空间。

如前所述，这是一个 NP 或“困难”问题。详尽的搜索，你正在做的方式，几乎和它得到的有保证的答案一样好。加密算法等使用这一事实来帮助保护它们。如果有人要解决这个问题，我们当前的“安全”通信大部分（如果不是全部）都会变得不安全。

Python 代码：

import math

def divisorGenerator(n):
    large_divisors = []
    for i in xrange(1, int(math.sqrt(n) + 1)):
        if n % i == 0:
            yield i
            if i*i != n:
                large_divisors.append(n / i)
    for divisor in reversed(large_divisors):
        yield divisor

print list(divisorGenerator(100))

应该输出如下列表：

[1、2、4、5、10、20、25、50、100]

【讨论】：

因为，一旦有了 1..10 之间的元素列表，您就可以轻松生成 11..100 之间的任何元素。你得到 {1, 2, 4, 5, 10}。将 100 除以每个元素，得到 {100, 50, 20, 25, 10}。
因子总是成对生成的，根据定义。通过仅搜索 sqrt(n)，您的工作量减少了 2 次方。
比我帖子里的版本快很多，但还是比使用素数的版本慢
我同意这不是最好的解决方案。我只是指出了一种“更好”的方式来进行“愚蠢”的搜索，这已经可以节省很多时间。
因式分解没有被证明是 NP 难的。 en.wikipedia.org/wiki/Integer_factorization 问题是要找到所有除数，因为已经找到了主要因素（困难的部分）。

【解决方案14】：

这是我的解决方案。它似乎很愚蠢，但效果很好……我试图找到所有合适的除数，所以循环从 i = 2 开始。

import math as m 

def findfac(n):
    faclist = [1]
    for i in range(2, int(m.sqrt(n) + 2)):
        if n%i == 0:
            if i not in faclist:
                faclist.append(i)
                if n/i not in faclist:
                    faclist.append(n/i)
    return facts

【讨论】：

错字：返回事实 => 返回 faclist

【解决方案15】：

对我来说，这很好用，也很干净（Python 3）

def divisors(number):
    n = 1
    while(n<number):
        if(number%n==0):
            print(n)
        else:
            pass
        n += 1
    print(number)

不是很快，但可以根据需要逐行返回除数，如果你真的想的话，你也可以做 list.append(n) 和 list.append(number)

【讨论】：

【解决方案16】：

return [x for x in range(n+1) if n/x==int(n/x)]

【讨论】：

提问者要求更好的算法，而不仅仅是更漂亮的格式。
你需要使用 range(1,n+1) 来避免被零除。此外，如果使用 Python 2.7，则需要使用 float(n) 进行第一次除法，此处为 1/2 = 0

【解决方案17】：

假设factors函数返回n的因子（例如factors(60)返回列表[2,2,3,5]），这里有一个函数来计算n 的除数：

function divisors(n)
    divs := [1]
    for fact in factors(n)
        temp := []
        for div in divs
            if fact * div not in divs
                append fact * div to temp
        divs := divs + temp
    return divs

【讨论】：

那是蟒蛇吗？无论如何，它肯定不是 python 3.x。
是伪代码，应该很容易翻译成python。
迟到 3 年，迟到总比没有好 :) IMO，这是最简单、最短的代码。我没有比较表，但我可以在 i5 便携式笔记本电脑上分解和计算高达 1 秒内的除数。

【解决方案18】：

改编自CodeReview，这是一个适用于num=1 的变体！

from itertools import product
import operator

def prod(ls):
   return reduce(operator.mul, ls, 1)

def powered(factors, powers):
   return prod(f**p for (f,p) in zip(factors, powers))


def divisors(num) :

   pf = dict(prime_factors(num))
   primes = pf.keys()
   #For each prime, possible exponents
   exponents = [range(i+1) for i in pf.values()]
   return (powered(primes,es) for es in product(*exponents))

【讨论】：

我似乎遇到了一个错误：NameError: global name 'prime_factors' is not defined。其他答案和原始问题都没有定义它的作用。

【解决方案19】：

我喜欢 Greg 解决方案，但我希望它更像 python。我觉得它会更快，更具可读性；所以经过一段时间的编码后，我得出了这个结论。

需要前两个函数来生成列表的笛卡尔积。并且可以在出现此问题时重复使用。顺便说一句，我必须自己编程，如果有人知道这个问题的标准解决方案，请随时与我联系。

“Factorgenerator”现在返回一个字典。然后将字典输入“除数”，后者使用它首先生成一个列表列表，其中每个列表是具有 p 素数的 p^n 形式的因子列表。然后我们制作这些列表的笛卡尔积，最后我们使用 Greg 的解决方案来生成除数。我们对它们进行排序，然后返回它们。

我测试了它，它似乎比以前的版本快一点。我将它作为一个更大程序的一部分进行了测试，所以我真的不能说它快了多少。

Pietro Speroni (pietrosperoni 点)

from math import sqrt


##############################################################
### cartesian product of lists ##################################
##############################################################

def appendEs2Sequences(sequences,es):
    result=[]
    if not sequences:
        for e in es:
            result.append([e])
    else:
        for e in es:
            result+=[seq+[e] for seq in sequences]
    return result


def cartesianproduct(lists):
    """
    given a list of lists,
    returns all the possible combinations taking one element from each list
    The list does not have to be of equal length
    """
    return reduce(appendEs2Sequences,lists,[])

##############################################################
### prime factors of a natural ##################################
##############################################################

def primefactors(n):
    '''lists prime factors, from greatest to smallest'''  
    i = 2
    while i<=sqrt(n):
        if n%i==0:
            l = primefactors(n/i)
            l.append(i)
            return l
        i+=1
    return [n]      # n is prime


##############################################################
### factorization of a natural ##################################
##############################################################

def factorGenerator(n):
    p = primefactors(n)
    factors={}
    for p1 in p:
        try:
            factors[p1]+=1
        except KeyError:
            factors[p1]=1
    return factors

def divisors(n):
    factors = factorGenerator(n)
    divisors=[]
    listexponents=[map(lambda x:k**x,range(0,factors[k]+1)) for k in factors.keys()]
    listfactors=cartesianproduct(listexponents)
    for f in listfactors:
        divisors.append(reduce(lambda x, y: x*y, f, 1))
    divisors.sort()
    return divisors



print divisors(60668796879)

附：这是我第一次在 stackoverflow 上发帖。我期待任何反馈。

【讨论】：

在 Python 2.6 中有一个 itertools.product()。
在任何地方都使用生成器而不是 list.append 的版本可能会更干净。
埃拉托色尼筛法可用于生成小于或等于 sqrt(n) stackoverflow.com/questions/188425/project-euler-problem#193605 的素数
编码风格：exponents = [k**x for k, v in factors.items() for x in range(v+1)]
对于列表指数：[[k**x for x in range(v+1)] for k,v in factors.items()]