快速联合的时间复杂度是多少？答案

【问题标题】：What is the Time Complexity of Quick Union?快速联合的时间复杂度是多少？
【发布时间】：2017-08-19 13:24:08
【问题描述】：

我正在参加有关数据结构和算法的 coursera 课程。作者提到快速查找是 O(N^2)，这是有道理的（假设对 N 个对象的 N 个联合操作可能需要 N*N 数组访问）。但是，我不明白为什么 Quick Union 会更好。似乎在最坏的情况下，一棵狭长的树，对 N 个对象的 N Find 操作也会导致 O(N^2)，但材料说它是 O(N)。

所以，一个是二次时间，一个是线性时间。我不确定我是否理解为什么会有差异。示例：

快速查找方法

int[] id = new int[10];

for(int i = 0; i < 10; i++)
    id[i] = i;  

// Quick find approach

int QuickFind(int p)
{
    return id[p];
}

public void Union(int p, int q)
{
    int pId = find(p);
    int qId = find(q);

    if (pId == qId)
        return;

    for (int i = 0; i < id.length; i++)
    {
        if(id[i] == pId)
            id[i] = qId;
    }
}

快速联合方法

int Find(int p)
{
    while(p != id[p])
        p = id[p];

    return p;
}

void QuickUnion(int p, int q)
{
    int pRoot = Find(p);
    int qRoot = Find(q);

    if(pRoot == qRoot)
        return;

    id[pRoot] = qRoot;
}

【问题讨论】：

通常在联合查找数据结构中，会在根中存储一个等级，并且通过将较小等级的根嫁接到较高的根上来执行联合 - 这可以防止长窄树。如果您提供一段简短的代码摘录来演示您正在谈论的内容，以及您认为是 O(N^2) 的特定案例，您的问题会更好。然后有一些具体的答案。
Quick Union 实际上会导致 O(N) 查找操作。我认为教科书可能指的是单个查找操作。

标签： algorithm quick-union

【解决方案1】：

我认为快速查找对 N 个对象进行 N 次联合操作以找到 1，但是 Quick-Union 确实 N 找到对 N 个对象的操作以联合 N 因此，第二个更快

【讨论】：

【解决方案2】：

我也遇到过这个。没错，对 N 个对象的 N find 操作也会导致快速联合的 O(N^2)。然而，主要区别在于，使用快速查找时，在执行 union 操作时，您将始终需要遍历所有对象，这对于最坏情况和最佳情况都是如此。

而使用快速联合不需要遍历所有对象，两个对象的联合可以在恒定时间内完成。

两种方法都有 O(N^2) 的最坏情况。在某些情况下，快速联合可能会稍微快一些，具体取决于输入的性质。

这是因为使用快速查找，联合操作的计算复杂度总是大于或等于 N。快速联合不是这种情况，find 操作可以执行小于 N 的计算。

【讨论】：

【解决方案3】：

// Naive implementation of find
int find(int parent[], int i)
{
    if (parent[i] == -1)
        return i;
    return find(parent, parent[i]);
}

// Naive implementation of union()
void Union(int parent[], int x, int y)
{
    int xset = find(parent, x);
    int yset = find(parent, y);
    parent[xset] = yset;
}

上述union() 和find() 很幼稚，最坏情况的时间复杂度是线性的。为表示子集而创建的树可能是倾斜的，并且可能变得像一个链表。以下是最坏情况的示例。

Let there be 4 elements 0, 1, 2, 3

Initially all elements are single element subsets.
0 1 2 3 

Do Union(0, 1)
   1   2   3  
  /
 0

Do Union(1, 2)
     2   3   
    /
   1
 /
0

Do Union(2, 3)
         3    
        /
      2
     /
   1
 /
0

在最坏的情况下，上述操作可以优化为O(Log n)。这个想法是总是在更深的树的根下附加更小的深度树。这种技术称为按等级联合。优先使用术语 rank 而不是 height，因为如果使用路径压缩技术（我在下面讨论过），那么 rank 并不总是等于高度。

Let us see the above example with union by rank
Initially all elements are single element subsets.
0 1 2 3 

Do Union(0, 1)
   1   2   3  
  /
 0

Do Union(1, 2)
   1    3
 /  \
0    2

Do Union(2, 3)
    1    
 /  |  \
0   2   3

对朴素方法的第二个优化是路径压缩。这个想法是在调用find() 时展平树。当为元素 x 调用 find() 时，将返回树的根。 find() 操作从x 向上遍历找到根。路径压缩的想法是让找到的根成为x的父节点，这样我们就不必再次遍历所有中间节点。如果x 是子树的根，那么x 下所有节点的路径（到根）也会被压缩。

Let the subset {0, 1, .. 9} be represented as below and find() is called
for element 3.
              9
         /    |    \  
        4     5      6
     /     \        /  \
    0        3     7    8
            /  \
           1    2  

When find() is called for 3, we traverse up and find 9 as representative
of this subset. With path compression, we also make 3 as child of 9 so 
that when find() is called next time for 1, 2 or 3, the path to root is 
reduced.

               9
         /    /  \    \
        4    5    6     3 
     /           /  \   /  \
    0           7    8  1   2

这两种技术相辅相成。每个操作的时间复杂度变得比O(logn) ~ O(n)还要小。事实上，摊销时间复杂度实际上变成了一个小常数。

我没有发布上述优化的代码，因为我猜这是分配部分。希望对您有所帮助！

【讨论】：