(number & -number) 在位编程中是什么意思？ [复制]答案

【问题标题】：What does (number & -number) mean in bit programming? [duplicate](number & -number) 在位编程中是什么意思？ [复制]
【发布时间】：2016-06-22 00:51:11
【问题描述】：

例如：

int get(int i) {
    int res = 0;
    while (i) {
        res = (res + tree[i]) % MOD;
        i -= ( (i) & (-i) );
    }
    return res;
}

树更新函数：

void update(int i, int val) {
    while (i <= m) {
        tree[i] = (tree[i] + val) % MOD;
        i += ( (i) & (-i) );
    }
}

您能否解释一下他们在代码中使用( (i) & (-i) ) 做了什么？

【问题讨论】：

i & (-i) 是设置的最低位（即最右边的1）。
如果你想看看它是如何工作的，可以考虑一个有符号数n（用来表示-n）的twos-complement，如果你和使用n。
不要指望自己发明这样的技巧。这些想法被复制的次数远远多于被发明出来的次数。
@PTwr - 第一个链接专门处理 Javascript。虽然代码相似并且可以使用相同的技巧，但我不确定会有多少好处。一个体面的 C++ 编译器无论如何都会执行许多这些优化。我很想看看在 C++ 中使用这些技巧的速度比较。
良好的做法是建议将此类 hack 放在具有自记录名称（例如 least_significant_bit_set）的内联函数中。

标签： c++ bit bitwise-and fenwick-tree

【解决方案1】：

让我假设负值使用二进制补码表示。在这种情况下，-i 可以计算为(~i)+1（翻转位，然后加 1）。

例如，让我考虑i = 44。然后，在二进制中，

i           = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0010 1100
~i          = 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 0011
-i = (~i)+1 = 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1101 0100
(i) & (-i)  = 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0100

如您所见，可以使用(i) & (-i) 计算最小位 1。

【讨论】：

感谢您的解释。现在我完全明白了:)
这不是依赖于实现吗？我猜想所有当前的编译器都对负数使用二进制补码，但是没有人阻止编译器或体系结构以不同的方式执行它，这可能会导致未定义的行为。
@vsz：C 标准明确允许这样做，事实上，有符号整数可以有陷阱表示（如负零），所以这很适合 UB 领域。当然，-i 已经是潜在的 UB，因为 i 可能是最大的负整数，给你有符号整数溢出（这也是未定义的）。
工作代码示例见：stackoverflow.com/a/36046076/984780

【解决方案2】：

如果有人也想要更一般的证明，

假设x 的格式为a10^k（这里的意思是一些位串a，后跟一个1，然后是k 个零）。

-x（根据定义）与~x + 1 相同，所以

x & -x =（填写）
a10^k & -(a10^k) = (def. of negation)
a10^k & ~(a10^k) + 1 = (应用反转)
a10^k & ~a01^k + 1 = (加 1)
a10^k & ~a10^k =（某事物与其逆事物之间的与）
0^w10^k

所以我们只剩下我们认为存在的最右边的一个 1。

关于x形式的假设忽略了x = 0的情况，在这种情况下结果显然仍然为零。

【讨论】：

【解决方案3】：

这两个函数是Binary index tree (Fenwick tree) 数据结构的修改实现。
这里有两张图片来补充 MikeCAT 的答案，显示 i 变量如何针对不同的值进行更新。

“get”函数：
为简化表示，假设函数输入的最大值为 15。

编号为t的节点代表树数组中的tree[t]。
如果您为 i 调用 get 函数，则返回值是 tree[i] 的总和加上所有 tree 的总和它们在数组中的索引是图片中 i 的父元素的数组元素，但零除外。
以下是一些示例：

get(15) = tree[15] + tree[14] + tree[12] + tree[8]
get(14) = tree[14] + tree[12] + tree[8]
get(13) = tree[13] + tree[12] + tree[8]
get(12) = tree[12] + tree[8]
get(11) = tree[11] + tree[10] + tree[8]
get(10) = tree[10] + tree[8]
get(9) = tree[9] + tree[8]
get(8) = tree[8]
get(7) = tree[7] + tree[6] + tree[4]
get(6) = tree[6] + tree[4]
get(5) = tree[5] + tree[4]
get(4) = tree[4]
get(3) = tree[3] + tree[2]
get(2) = tree[2]

上图中节点标签上的数字具有这样一个属性，即每个节点的父节点是该节点标签减去最不重要的一个 1（在@MikeCAT 答案上解释得很好）
“更新”功能：
为简单起见，假设 tree 数组的最大长度为 16。
update 功能有点复杂。

它将 val 添加到 tree[i] 和所有 tree 元素，它们的索引是带有标签 i 的节点的父节点> 在图片中。

update(16, val) --> tree[16] += val;
update(15, val) --> tree[15] += val, tree[16] += val;
update(14, val) --> tree[14] += val, tree[16] += val;
update(13, val) --> tree[13] += val, tree[14] += val; tree[16] += val;
update(12, val) --> tree[12] += val, tree[16] += val;
update(11, val) --> tree[11] += val, tree[12] += val, tree[16] += val;
update(10, val) --> tree[10] += val, tree[12] += val, tree[16] += val;
update(9, val)  --> tree[9] += val, tree[10] += val, tree[12] += val, tree[16] += val;
update(8, val)  --> tree[8] += val, tree[16] += val;
update(7, val)  --> tree[7] += val, tree[8] += val, tree[16] += val;
update(6, val)  --> tree[6] += val, tree[8] += val, tree[16] += val;
update(5, val)  --> tree[5] += val, tree[6] += val, tree[8] += val, tree[16] += val;
update(4, val)  --> tree[4] += val, tree[8] += val, tree[16] += val;
update(3, val)  --> tree[3] += val, tree[4] += val, tree[8] += val, tree[16] += val;
update(2, val)  --> tree[2] += val, tree[4] += val, tree[8] += val, tree[16] += val;
update(1, val)  --> tree[1] += val, tree[2] += val, tree[4] += val, tree[8] += val, tree[16] += val;

【讨论】：