如何在 C++ 中做一个整数 log2()？答案

【问题标题】：How to do an integer log2() in C++?如何在 C++ 中做一个整数 log2()？
【发布时间】：2010-11-02 22:27:12
【问题描述】：

在 C++ 标准库中，我发现只有一个浮点日志方法。现在我使用 log 来查找二叉树 (floor(2log(index))) 中索引的级别。

代码（C++）：

int targetlevel = int(log(index)/log(2));

恐怕对于某些边缘元素（值为 2^n 的元素），log 将返回 n-1.999999999999 而不是 n.0。这种恐惧正确吗？如何修改我的陈述，使其始终返回正确答案？

【问题讨论】：

我不明白这个问题。为什么它会返回 n - 1,9(9)？
因为并非所有整数都可以精确地存储为浮点数。如果 7 不合适，它将被存储为 7.000001 或 6.999999 例如。
是的，我知道。但是这个 1,9(9) 是从哪里来的呢？也许您可以使用重新格式化问题，将用于较高的索引，将用于较低的索引？
任何整数都可以精确地存储在浮点数中。但是，log() 函数不一定精确，即使它是 log(2)，对于自然对数或以 10 为底的函数都是不合理的，因此没有理由期望得到精确的结果。鉴于无法保证确切的结果，担心确切的边界条件是有道理的。
你必须有相当大的整数，可能是 2^exponentsize 才能精确表示。如果您在这种情况下失去精度，那是因为 log(2) 无法准确表示。你会只为 2^n 调用这个方法吗？如果是这样，您可以四舍五入到最接近的整数（或只使用接受的答案）

标签： c++ floating-accuracy logarithm

【解决方案1】：

如果您使用的是最新的 x86 或 x86-64 平台（并且您可能是），请使用 bsr 指令，该指令将返回无符号整数中最高设置位的位置。事实证明，这与 log2() 完全相同。这是一个简短的 C 或 C++ 函数，它使用内联 ASM 调用 bsr：

#include <stdint.h>
static inline uint32_t log2(const uint32_t x) {
  uint32_t y;
  asm ( "\tbsr %1, %0\n"
      : "=r"(y)
      : "r" (x)
  );
  return y;
}

【讨论】：

而在 ARM 上，您需要 clz，它返回 31 减去您想要的值。 GCC 有 __builtin_clz，大概是在 x86 上使用 bsr。
为避免减法，请改用__builtin_ctz。 int log2 (int x){return __builtin_ctz (x);} 它也适用于 x86。
@user2573802 这是错误的。 __builtin_ctz(9) = 0 不是 log2(9)。
static inline uint32_t log2(const uint32_t x){return (31 - __builtin_clz (x));} 在 intel 和 ARM 上都有效（但在 ARM 上 0 的结果错误：log2(0) = 4294967295）。所以英特尔的 bsr 的完整模拟是：static inline uint32_t log_2(const uint32_t x){if(x == 0) return 0;return (31 - __builtin_clz (x));}
@Eddy_Em 不确定您对 log2(0) 的看法是什么，因为从数学上讲，log(0) 对于所有碱基都是未定义的。它返回 INT_MAX 并不比返回 0 更“正确”。

【解决方案2】：

您可以改用此方法：

int targetlevel = 0;
while (index >>= 1) ++targetlevel;

注意：这将修改索引。如果您需要它保持不变，请创建另一个临时 int。

极端情况是 index 为 0 时。您可能应该单独检查它并在 index == 0 时抛出异常或返回错误。

【讨论】：

while 循环是否将 0 整数计算为假？
如果 index = 0，targetlevel 将为 0。在您的代码中，它可能会导致异常。您希望 index = 0 的值是多少？
我的意思是说，当 index >>= 1 的计算结果为 0 时，循环必须停止。我无法快速找到当表达式计算为整数零时 while 循环将真正停止的地方.这当然是逻辑，因为这些位与布尔值 false 相同。
...实际上，在您的代码中也不例外 - 它将计算为负无穷大，然后转换为 int 作为最大负 int 值。
请务必将index 指定为unsigned int，否则您将面临一个非常危险的潜在无限循环错误。

【解决方案3】：

如果你只想要一个快速的整数 log₂ 运算，下面的函数mylog2() 可以做到，而不必担心浮点精度：

#include <limits.h>

static unsigned int mylog2 (unsigned int val) {
    if (val == 0) return UINT_MAX;
    if (val == 1) return 0;
    unsigned int ret = 0;
    while (val > 1) {
        val >>= 1;
        ret++;
    }
    return ret;
}

#include <stdio.h>

int main (void) {
    for (unsigned int i = 0; i < 20; i++)
        printf ("%u -> %u\n", i, mylog2(i));
    putchar ('\n');
    for (unsigned int i = 0; i < 10; i++)
        printf ("%u -> %u\n", i+UINT_MAX-9, mylog2(i+UINT_MAX-9));
    return 0;
}

上面的代码也有一个小的测试工具，所以你可以检查行为：

0 -> 4294967295
1 -> 0
2 -> 1
3 -> 1
4 -> 2
5 -> 2
6 -> 2
7 -> 2
8 -> 3
9 -> 3
10 -> 3
11 -> 3
12 -> 3
13 -> 3
14 -> 3
15 -> 3
16 -> 4
17 -> 4
18 -> 4
19 -> 4

4294967286 -> 31
4294967287 -> 31
4294967288 -> 31
4294967289 -> 31
4294967290 -> 31
4294967291 -> 31
4294967292 -> 31
4294967293 -> 31
4294967294 -> 31
4294967295 -> 31

对于输入值 0，它将返回 UINT_MAX，作为未定义结果的指示，因此您应该检查这一点（没有有效的无符号整数会有这么高的对数）。

顺便说一下，here 提供了一些非常快速的技巧来做到这一点（找到 2 的补码中设置的最高位）。我不建议使用它们，除非速度至关重要（我自己更喜欢可读性），但你应该知道它们的存在。

【讨论】：

paxdiablo — 我喜欢你在输入值为 0 时返回 –1。但是请注意，你并没有实际上返回 -1，而是实际上取而代之的是~0（例如，如果您有32 位整数，则为0xFFFFFFFF），因为您已声明函数返回unsigned int 而不是int。从这个意义上说，~0 是最接近整数的无穷大。
@ToddLehman：您实际上返回的是 -1。然后它应用了一个整数提升，对于负数将值设置为2 ** 32 - n，并且由于这里的n == -1，该值等于最大值unsigned。在某些系统上，~0 不会给您想要的。 unsigned 是根据值定义的，而不是根据位表示。
@paxdiablo — 顺便说一下，你提到 log₂(0) 的“正确”值是无穷大，但它实际上不是负无穷大吗？即 $\lim{x \to 0} log x = -\infty$.
@Todd，绝对正确，极限接近负无穷大。但是，由于实际上并未将对数定义为零（尽管有限制），因此我重写了该位以将其删除。

【解决方案4】：

Base-2 整数对数

这是我为 64 位无符号整数所做的。这会计算以 2 为底的对数的下限，它相当于最高有效位的索引。对于大量数字，此方法快得冒烟，因为它使用了一个展开的循环，该循环始终以 log₂64 = 6 步执行。

本质上，它所做的是在序列 { 0 ≤ k ≤ 5: 2^(2^k) } = { 2³², 2¹⁶, 2⁸, 2⁴, 2², 2¹ } = { 4294967296, 65536, 256, 16, 4, 2, 1 } 并将减法值的指数 k 相加。

int uint64_log2(uint64_t n)
{
  #define S(k) if (n >= (UINT64_C(1) << k)) { i += k; n >>= k; }

  int i = -(n == 0); S(32); S(16); S(8); S(4); S(2); S(1); return i;

  #undef S
}

请注意，如果给定无效输入 0（这是初始 -(n == 0) 正在检查的内容），则返回 –1。如果您从没想过会使用n == 0 调用它，您可以用int i = 0; 替换初始化程序，并在函数入口处添加assert(n != 0);。

以 10 为底的整数对数

可以使用类似的方法计算以 10 为底的整数对数 - 要测试的最大平方为 10¹⁶，因为 log₁₀2⁶⁴ ≅ 19.2659...

int uint64_log10(uint64_t n)
{
  #define S(k, m) if (n >= UINT64_C(m)) { i += k; n /= UINT64_C(m); }

  int i = -(n == 0);
  S(16,10000000000000000); S(8,100000000); S(4,10000); S(2,100); S(1,10);
  return i;

  #undef S
}

请注意，一个好的编译器会将此处的整数除法运算优化为乘法指令，因为除法始终是常数。（这很重要，因为与乘法指令相比，即使在最快的现代 CPU 上，整数除法指令仍然非常慢。）

【讨论】：

非常漂亮。使用合适的编译器和正确的指令集，条件动作可能都被实现为谓词指令，因此不会出现分支错误预测；这都是以典型现代处理器可以达到的（超标量）速率在寄存器中进行的纯计算。
@IraBaxter — 谢谢...令人惊讶的是，在log2 的情况下，这种与常量列表进行比较的方法（在我的系统上）比移位和检查零快约 60% . （我想是因为现代指令流水线缓存。）也就是说，使用if (n >> k) {...} 进行移位并与零比较实际上比使用if (n >= (UINT64_C(1) << k)) {...} 与 64 位常量进行比较要慢 60%。

【解决方案5】：

这已在上面的 cmets 中提出。使用 gcc 内建函数：

static inline int log2i(int x) {
    assert(x > 0);

    return sizeof(int) * 8 - __builtin_clz(x) - 1;
}

static void test_log2i(void) {
    assert_se(log2i(1) == 0);
    assert_se(log2i(2) == 1);
    assert_se(log2i(3) == 1);
    assert_se(log2i(4) == 2);
    assert_se(log2i(32) == 5);
    assert_se(log2i(33) == 5);
    assert_se(log2i(63) == 5);
    assert_se(log2i(INT_MAX) == sizeof(int)*8-2);
}

【讨论】：

找不到assert_se 的文档——我认为它可能只是assert。
使用unsigned x，这与floor(log2(x)) 匹配所有32 位值（零除外）。我在 x86 上使用 sizeof(int)==4 对 gcc 4.8.2 进行了详尽的测试。

【解决方案6】：

从C++20开始可以使用

std::bit_width(index) - 1

非常简短、紧凑、快速且易读。

跟the answer provided by Igor Krivokon的思路一样。

【讨论】：

【解决方案7】：

如果您使用的是 C++11，您可以将其设为 constexpr 函数：

constexpr std::uint32_t log2(std::uint32_t n) noexcept
{
    return (n > 1) ? 1 + log2(n >> 1) : 0;
}

【讨论】：

【解决方案8】：

我从未对您使用的公式的浮点精度有任何问题（快速检查从 1 到 2 的数字³¹ - 1 未发现错误），但如果你很担心，你可以改用这个函数，它返回相同的结果，并且在我的测试中快了大约 66%：

int HighestBit(int i){
    if(i == 0)
        return -1;

    int bit = 31;
    if((i & 0xFFFFFF00) == 0){
        i <<= 24;
        bit = 7;
    }else if((i & 0xFFFF0000) == 0){
        i <<= 16;
        bit = 15;
    }else if((i & 0xFF000000) == 0){
        i <<= 8;
        bit = 23;
    }

    if((i & 0xF0000000) == 0){
        i <<= 4;
        bit -= 4;
    }

    while((i & 0x80000000) == 0){
        i <<= 1;
        bit--;
    }

    return bit; 
}

【讨论】：

确实，使用 log(number)/log(base) 方法的危险并不在于以 2 为底，而在于其他数字。例如，log(1000) / log(10) 给出 2.9999999999999996（floor 是 2 而不是 3），具有 IEEE 双精度语义。
但还要注意，由于 IEEE 双精度值只有 53 位尾数（52 加上一个可理解的前导 1 位），log(number)/log(base) 方法完全分崩离析大于 2⁵³ 的数字，这是 64 位整数的一个非常大的子集。因此，虽然使用 32 位整数的 log(number)/log(base) 是安全的，但使用 64 位整数是在自找麻烦。

【解决方案9】：

int targetIndex = floor(log(i + 0.5)/log(2.0));

【讨论】：

这对于最困难的情况（2^N-1）是明确定义的，至少达到N=32，但在N=(52-log(52))左右遇到问题，当@的双精度结果时987654325@ 开始为相邻值返回相同的结果。

【解决方案10】：

这不是标准的，也不一定是可移植的，但它通常可以工作。不知道效率如何。

将整数索引转换为足够精度的浮点数。假设精度足够，表示将是准确的。

查找 IEEE 浮点数的表示，提取指数，并进行必要的调整以找到以 2 为底的对数。

【讨论】：

“足够的精度”在这里等于 IEEE 双精度（C 中的 64 位又名 double），用于处理 32 位整数和 IEEE 扩展双精度（80 位又名 long double在 C) 中用于处理 64 位整数。

【解决方案11】：

上面有类似的答案。这个答案

适用于 64 位数字
让您选择舍入类型和
包括测试/示例代码

功能：

    static int floorLog2(int64_t x)
    { 
      assert(x > 0);
      return 63 - __builtin_clzl(x);
    }

    static int ceilLog2(int64_t x)
    {
      if (x == 1)
        // On my system __builtin_clzl(0) returns 63.  64 would make more sense   
        // and would be more consistent.  According to stackoverflow this result  
        // can get even stranger and you should just avoid __builtin_clzl(0).     
        return 0;
      else
        return floorLog2(x-1) + 1;
    }

测试代码：

for (int i = 1; i < 35; i++)
  std::cout<<"floorLog2("<<i<<") = "<<floorLog2(i)
           <<", ceilLog2("<<i<<") = "<<ceilLog2(i)<<std::endl;

【讨论】：

【解决方案12】：

此函数确定表示数字区间需要多少位：[0..maxvalue]。

unsigned binary_depth( unsigned maxvalue )
   {
   int depth=0;
   while ( maxvalue ) maxvalue>>=1, depth++;
   return depth;
   }

通过从结果中减去 1，您会得到 floor(log2(x))，当 x 是 2 的幂时，这是 log2(x) 的精确表示。

xyy-1
00-1
11 0
221
321
432
53 2
632
732
843

【讨论】：

这可以很容易地推广到支持任何“基数”（数字基数）——只需使用/=radix（除以基数）代替>>=1。

【解决方案13】：

int log2(int x) {
    return sizeof(int)*8 - 1 - __builtin_clz(x);
}

假设你的 x > 0

【讨论】：

__builtin_clz 不是 C++ 中的标准函数。

【解决方案14】：

您将树投影到多深？你可以设置一个范围说... +/- 0.00000001 到数字来强制它为一个整数值。

我实际上并不确定您是否会达到 1.99999999 这样的数字，因为您的 log2 在计算 2^n 值时不应该失去任何准确性（因为浮点四舍五入到最接近的 2 次幂）。

【讨论】：

【解决方案15】：

这个函数是我写的here

// The 'i' is for int, there is a log2 for double in stdclib
inline unsigned int log2i( unsigned int x )
{
  unsigned int log2Val = 0 ;
  // Count push off bits to right until 0
  // 101 => 10 => 1 => 0
  // which means hibit was 3rd bit, its value is 2^3
  while( x>>=1 ) log2Val++;  // div by 2 until find log2.  log_2(63)=5.97, so
  // take that as 5, (this is a traditional integer function!)
  // eg x=63 (111111), log2Val=5 (last one isn't counted by the while loop)
  return log2Val ;
}

【讨论】：

【解决方案16】：

重写 Todd Lehman 的答案更通用：

#include <climits>

template<typename N>
constexpr N ilog2(N n) {
    N i = 0;
    for (N k = sizeof(N) * CHAR_BIT; 0 < (k /= 2);) {
        if (n >= static_cast<N>(1) << k) { i += k; n >>= k; }
    }
    return i;
}

Clang 与 -O3 展开循环：

0000000100000f50    pushq   %rbp
0000000100000f51    movq    %rsp, %rbp
0000000100000f54    xorl    %eax, %eax
0000000100000f56    cmpl    $0xffff, %edi
0000000100000f5c    setg    %al
0000000100000f5f    shll    $0x4, %eax
0000000100000f62    movl    %eax, %ecx
0000000100000f64    sarl    %cl, %edi
0000000100000f66    xorl    %edx, %edx
0000000100000f68    cmpl    $0xff, %edi
0000000100000f6e    setg    %dl
0000000100000f71    leal    (,%rdx,8), %ecx
0000000100000f78    sarl    %cl, %edi
0000000100000f7a    leal    (%rax,%rdx,8), %eax
0000000100000f7d    xorl    %edx, %edx
0000000100000f7f    cmpl    $0xf, %edi
0000000100000f82    setg    %dl
0000000100000f85    leal    (,%rdx,4), %ecx
0000000100000f8c    sarl    %cl, %edi
0000000100000f8e    leal    (%rax,%rdx,4), %eax
0000000100000f91    xorl    %edx, %edx
0000000100000f93    cmpl    $0x3, %edi
0000000100000f96    setg    %dl
0000000100000f99    leal    (%rdx,%rdx), %ecx
0000000100000f9c    sarl    %cl, %edi
0000000100000f9e    leal    (%rax,%rdx,2), %ecx
0000000100000fa1    xorl    %eax, %eax
0000000100000fa3    cmpl    $0x1, %edi
0000000100000fa6    setg    %al
0000000100000fa9    orl %ecx, %eax
0000000100000fab    popq    %rbp

当n 为常量时，在编译时计算结果。

【讨论】：

【解决方案17】：

鉴于浮点数的工作方式（粗略地说，尾数 * 2^exponent），那么任何不超过 2^127 的数字（即 2 的幂）都将准确表示而不会出错。

这确实提供了一个微不足道但相当老套的解决方案 - 将浮点数的位模式解释为整数，然后只看指数。这是上面 David Thornley 的解决方案。

float f = 1;
for (int i = 0; i < 128; i++)
{
    int x = (*(int*)(&f)>>23) - 127;
    int l = int(log(f) / log(2));

    printf("i = %d, log = %d, f = %f quick = %d\n",
        i, l, f, x);
    f *= 2;
}

any 整数可以表示为浮点数是不正确的——只有那些位数少于尾数的整数才能表示。在 32 位浮点数中，这是 23 位的价值。

【讨论】：