自下而上的堆排序与自上而下的堆排序（性能方面）

Question

自下而上的 HeapSort 和自上而下的 HeapSort 之间的性能差异是什么？

Answer 1

堆是二叉树；因此，我们知道它具有 log n 深度，并且每个级别有 2^i 个节点。 0级（根）有1个节点，1级有2个节点，2级有4个节点，以此类推

现在想想你提到的两种方法：

对于自下而上，我们将节点插入到底部并让它们每次“冒泡”堆。相反，对于自上而下，我们让节点“下降”到它们应有的位置。哪个效率更高？

让我们考虑一下最坏的情况：

自下而上，每个节点都可以上升到最顶层。在级别 1，这需要一次交换（在两个节点上）；在第 2 级，这需要两个（在四个节点上）......一旦我们到达最后一个级别，我们必须进行 log n 交换（在相当大的 n/2 个节点上）！这给了我们 O(n log n) 的效率。

自顶向下：在每一层，任何节点都可以落到树的底部（log n swaps）。它与自下而上的区别在于，随着最大下落距离的增加，受它影响的潜在节点的数量会减少。级别 0 是唯一可以落在 log n 的节点，也就是一个节点（而不是自下而上的 n/2）。因此，所有“下降”的总和为 O(n)，是更有效的算法。