第 k 个最小元素的最大堆与最小堆答案

【问题标题】：Max heap vs Min heap for kth smallest element第 k 个最小元素的最大堆与最小堆
【发布时间】：2019-04-11 03:08:55
【问题描述】：

我无法理解为什么寻找第 k 个最小元素的解决方案使用最大堆方法。对于第 k 个最大的元素，采用最小堆方法。使用 min heap 来查找第 k 个最小的元素不是更有意义吗，因为最小的元素总是根？因此，如果我们想找到第三小的元素，那么我们只需删除根 2 次，构建堆，就可以得到第三小的元素。在最大堆中，最小的不在根，那么为什么使用它更好呢？对数组中的升序或降序数字进行排序也是如此。我看到大多数人使用最大堆来提升。

【问题讨论】：

标签： algorithm heap heapsort min-heap max-heap

【解决方案1】：

其实我们可以同时使用 Min 和 Max heap 来找到第 k 个最小的元素：

就像您描述的那样，我们可以构建一个最小堆，然后在循环中提取第 k 个元素。

或

我们可以只用 k 个元素构建 Max Heap。然后我们只需将其余元素与根进行比较，仅将小于根的元素替换为根，因此最大堆总是有 k 个最小的元素。

【讨论】：

但是你怎么知道你在第 k 个最小元素？在您知道它是否是第 k 个最小的之前，您不需要将数组中的所有元素与末尾进行比较吗？
@mth1417 当然，首先你需要用前 k 个元素构建一个小的最大堆，然后我们需要将数组的其余部分与最大堆根进行比较。但是要构建最小堆，您还需要比较所有数组元素。最重要的是，我们需要提取 k 个元素，其中 k 可能与 n 一样大...
如果最小的总是在根，为什么还需要比较最小堆中的所有元素，你只需要检查根？
@mth1417 我们需要比较所有元素以构建最小堆。构建堆的复杂度是 O(n * log n)，所以我们接触所有元素，并且对于每个元素，我们进行 O(log n) 的堆化。对于 Max Heap，我们只为 k 个元素进行 heapify，所以它是 O(k * log k)，然后我们只是将数组的其余部分与 Max Heap 根进行比较，偶尔只为 k 个元素调用 heapify。所以 Max Heap 的复杂度是 O(n * log k)，而 Min Heap 的复杂度是 O(n * log n) + O(k * log n) 来提取 k min 个元素。
很抱歉，当提取总是第一个元素时，我不明白为什么提取是 O(k*log n)