二叉堆的摊销分析

Question

所以一个常规的二叉堆有一个操作 extract_min 是 O(log(n)) 最坏的时间。假设 extract_min 的摊销成本为 O(1)。设 n 为堆的大小

因此，我们执行了 n 个 extract_min 操作的序列，它最初包含 n 个元素。这是否意味着整个序列将在 O(n) 时间内处理，因为每个操作都是 O(1)？

Answer 1

让我们先解决这个问题：通过extract_min 操作删除堆中的所有元素需要 O(N log N) 时间。

这是事实，所以当您问“恒定摊销时间extract_min 是否意味着删除所有元素的线性时间？”时，您真正要问的是“extract_min 是否可以采用恒定摊销时间，即使它需要O(N log N) 时间提取所有元素？”

这个问题的答案实际上取决于堆支持的操作。

如果堆只支持add 和extract_min 操作，那么每个没有失败的extract_min（在恒定时间内）必须对应于之前的add。然后我们可以说add 需要摊销 O(log N) 时间，而extract_min 需要摊销 O(1) 时间，因为我们可以分配它的所有之前的add 的非恒定成本。

如果堆支持 O(N) 时间 make_heap 操作（摊销与否），那么它可以执行 N extract_min 操作而无需做任何其他加起来 O(N log N) 时间的事情。整个 O(N log N) 成本必须分配给 N extract_min 操作，我们可以不声称extract_min 采用摊销常数时间。