这两个递归函数有什么区别？

Question

问题是求一个数 x 的 x^n 的 n 次方，其中 n 是一个正整数。下面两段代码有什么区别。它们都产生相同的结果。

这是第一个的代码：

(define (power x n)
  (define (square n) (* n n))
  (cond ((= n 1) x)
        ((even? n)
         (square (power x (/ n 2))))
        (else 
         (* (power x (- n 1)) x))))

这是第二个：

(define (power x n)
  (if (= n 1)
      x 
      (* x (power (- n 1) x))))

Answer 1

区别在于两种算法运行所需的时间。

第二个更简单，但效率较低：它需要O(n) 乘法来计算x^n。

第一个称为平方和乘法算法。本质上，它使用指数的二进制表示，并使用恒等式

x^(ab) = ((x^a)^b)
x^(a+b) = (x^a)(x^b)

计算结果。它只需要O(log n) 乘法来计算结果。

维基百科有一些detailed analysis of this。