如何计算每个呈指数增长的数字的总和？

Question

我的数学很糟糕（对不起！）我无法计算出适合我的游戏的简单方程式。

在游戏中，我有一个物品的价格，你可以无限次购买 - 每次购买，价格都会上涨。

假设购买该商品的价格为 5 美元。在这里，我会买它10次： 5+20+45+80+125+180+245+320+405+500 = 购买 10 次的总成本为 1925 美元。

接下来我要完成的是提供 Buy x10、Buy x20 等按钮，这些按钮将计算一次购买 10 次的成本。

这是我目前的代码，它将导致上述价格：

    public function CalcuatePrice(timesAlreadyPurchased:Number,timesToBuy:int=1):Number {
        var price:Number;
        var basePrice:Number = 5;
        var multiplier:Number;

        //Always need at least 1 (items actually start at purchased 0 times)
        timesAlreadyPurchased += 1;

        //Apply iterations
        if (timesToBuy!=1){
            multiplier = (timesToBuy * (timesToBuy + timesAlreadyPurchased)) / 2;
        } else {
            multiplier = timesAlreadyPurchased; 
        }

        price = basePrice * multiplier;

        return price;
    }

目前只在timesToBuy为1时有效。问题上线了：

multiplier = (timesToBuy * (timesToBuy + baseMultiplier)) / 2;

我只是不确定使用什么公式来获得“timesToBuy = 10”，当“timesAlreadyPurchased = 0”时返回 1925 美元的值。

另外——有人知道这种方程在数学中叫什么吗？也许是指数级数之和？谢谢。

Answer 1

看起来像一个算术级数。

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价格上涨15、25、35、45等，所以n-th买入的价格可以表示为递推关系：

通过替换解决这个问题：

不错的简单表达。最后一步使用来自here 的公式。例如对于n = 3（第三次购买），价格是5 * 3^2 = 45。

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要得到总价，当然只是总结一下：

使用上面链接的同一页面中的另一个公式。

测试 5 次购买：

• 原文：5 + 20 + 45 + 80 + 125 = 275
• 公式：5 / 6 * 5 * 6 * 11 = 275

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更新——“伪代码”中的公式：

price = (5.0 / 6.0) * timesToBuy * (timesToBuy + 1) * (2 * timesToBuy + 1);