声明图中两个节点之间的最短路径？答案

【问题标题】：Claims on shortest path between two node in graph?声明图中两个节点之间的最短路径？
【发布时间】：2015-06-12 08:51:07
【问题描述】：

如果加权和有向图G（可能有负边）上两个顶点之间的最短路径由D(u, v) 显示，则以下声明始终是错误的。

有负边缘，但没有任何负循环，那么 D(u,v) 上的 Sigma（所有顶点对的总和）不能为负。

Why this claims is False?

什么是D(u,v) 没有从 u 到 v 的路径在我的注意，但我认为在这种情况下D(u,v)=0。

【问题讨论】：

如果没有从u 到v 的路径，通常记为D(u,v) = infinity，但这取决于定义
如果我们使用无穷大，这句话可能是真的吗？ @amit 好吗？
我不知道，我可以尝试证明或找到反例，但这真的取决于这个问题的答案。如果D(u,v)=0 u-v 之间没有路径，则只有负权重边缘的 DAG 清楚地满足了要求，但这对我来说似乎很奇怪。
所以请通过回答@amit考虑两种情况

【解决方案1】：

具有负边，但没有任何负循环，则 D(u,v) 上的 Sigma（所有顶点对的总和）不能为负。

考虑有向图：

1 -> 2 -> 3

每条弧的成本为-1：不存在负成本循环，但所有对的总和为负。所以这个说法是错误的，因为我们找到了一个反例。

在这种情况下，如果我们想找到一个反例，我们必须考虑一个在所有节点对之间都有路径的图，否则总和将始终为正，因为我们将添加一个无限量。

考虑从节点x 到节点y 的负成本路径。那么从y 到x 的路径的成本必须是正的并且D(x, y) + D(y, x) 不是负的，否则我们会有一个负循环，这是不允许的。

由于每个负成本路径都必须具有正成本（返回路径 + 初始路径），因此该陈述适用于这种情况。

【讨论】：

【解决方案2】：

假设D(u,v) = infinity 如果没有从u 到v 的路径（我真的认为没有理由假设其他情况，在这种情况下假设D(u,v)=0 很奇怪），则该声明是正确的。

证明：

首先，假设每一对都有一条路径u,v - 否则所有对的总和是无穷大，我们就完成了。

对于每一对顶点u,v：

如果D(u,v)>0 和D(v,u)>0 这对对总和贡献了正数
否则，在不失一般性的情况下，假设D(u,v)<0。由于没有负循环，D(u,v) + D(v,u) >= 0 因此D(v,u) >= -D(u,v)。正如我们所见，D(v,u) + D(u,v) 为求和贡献了一个非负数。

由于上述对于每一对 u,v 都是正确的 - 没有任何一对可以贡献负数，并且总和不能为负。

QED

【讨论】：